PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 do ITA 2026

1ª fase · Física

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use os seguintes valores para as quantidades a seguir:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
\sqrt{2} \approx 1{,}4; \sqrt{3} \approx 1{,}7; \sqrt{5} \approx 2{,}2 \sqrt{7} \approx 2{,}6.

Considere um pêndulo simples, com um fio ideal de comprimento \ell sob ação da gravidade de aceleração g, e um sistema massa–mola na horizontal, com uma mola de comprimento natural x_0 e uma massa que desliza sobre uma superfície lisa, conforme a figura. Ambos os corpos, o do pêndulo e o do sistema massa–mola, possuem a mesma massa. No instante inicial, o pêndulo é solto do repouso a partir de um pequeno ângulo \theta com a vertical, enquanto a massa do sistema massa-mola é solta também do repouso a partir de uma posição x_1, em que a mola se encontra comprimida. As duas massas colidem quando a mola atinge seu comprimento natural e quando o pêndulo está na vertical. Nesse instante, elas possuem a mesma velocidade. Assinale a alternativa que corresponde a relação entre o ângulo \theta, de lançamento do pêndulo, e os outros parâmetros físicos relevantes.

Dois esquemas do sistema massa–mola e do pêndulo. À esquerda, a mola está comprimida, presa a uma parede e ligada a uma massa sobre uma superfície horizontal; seu comprimento é indicado por . O pêndulo tem fio de comprimento inclinado à direita, formando um ângulo com a vertical tracejada. À direita, a mola está em seu comprimento natural , e a massa ligada a ela encosta na massa do pêndulo, cujo fio de comprimento está na vertical.

  1. A
    \cos\theta = 1 - \dfrac{(x_1-x_0)^2}{2\ell^2}.
  2. B
    \sin\theta = 1 - \dfrac{(x_1-x_0)^2}{2\ell^2}.
  3. C
    \cos\theta = 1 - \dfrac{(x_1-x_0)^2}{\ell^2}.
  4. D
    \sin\theta = 1 - \dfrac{2\ell^2}{(x_1-x_0)^2}.
  5. E
    \cos\theta = 1 - \dfrac{\ell^2}{(x_1-x_0)^2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A ideia é igualar a velocidade de cada massa no instante da colisão, usando conservação de energia em cada sistema.

Pêndulo: ao descer da altura h=\ell(1-\cos\theta) até a vertical, toda a energia potencial vira cinética:

mg\,\ell(1-\cos\theta)=\frac{mv^2}{2}\Rightarrow v^2=2g\ell(1-\cos\theta)

Massa-mola: a superfície é lisa, então a energia elástica inicial, com deformação x_0-x_1 em módulo, vira cinética quando a mola chega ao comprimento natural:

\frac{k(x_1-x_0)^2}{2}=\frac{mv^2}{2}\Rightarrow v^2=\frac{k}{m}(x_1-x_0)^2

Condição: as velocidades são iguais, então os dois v^2 coincidem. Falta eliminar k/m. A questão pede a relação só com ângulo e comprimentos, e o dado que falta é a coincidência dos tempos. As duas massas partem juntas do repouso e chegam juntas ao ponto de encontro: o pêndulo leva um quarto de período, e a massa-mola também leva um quarto de período.

Para pequenos ângulos:

\frac{T_p}{4}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\ell}{g}},\qquad \frac{T_m}{4}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}

Igualando, \dfrac{k}{m}=\dfrac{g}{\ell}.

Substituindo:

2g\ell(1-\cos\theta)=\frac{g}{\ell}(x_1-x_0)^2
1-\cos\theta=\frac{(x_1-x_0)^2}{2\ell^2}\Rightarrow \cos\theta=1-\frac{(x_1-x_0)^2}{2\ell^2}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa seno em vez de cosseno; a altura de queda do pêndulo é \ell(1-\cos\theta).
  • Cperde o fator 2 da energia cinética, mv^2/2, ao igualar as energias.
  • Dusa seno e uma forma invertida, que não resulta de nenhuma conservação de energia.
  • Einverte a razão entre \ell e (x_1-x_0) e erra o fator 2.

Assuntos: conservação de energia, pêndulo simples, movimento harmônico simples.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗