PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 do ITA 2026

1ª fase · Física

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use os seguintes valores para as quantidades a seguir:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
\sqrt{2} \approx 1{,}4; \sqrt{3} \approx 1{,}7; \sqrt{5} \approx 2{,}2 \sqrt{7} \approx 2{,}6.

Três planetas de massas m idênticas orbitam, em trajetória circular, uma estrela de massa M. A posição relativa entre os planetas, a cada instante, forma um triângulo equilátero de lado a, conforme mostrado na figura. Sabendo que G é a constante da gravitação universal, podemos afirmar que o período dessa órbita é dado por

Três corpos de massa m situados nos vértices de um triângulo equilátero de lado a, com uma estrela de massa M no centro do triângulo.

  1. A
    T = \frac{2\pi a^{3/2}\sqrt{3}}{\sqrt{G(9M + 8m)}}.
  2. B
    T = \frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{G(M + 3m)}}.
  3. C
    T = \frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{3G(\sqrt{3}M + m)}}.
  4. D
    T = \frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{G(3M + m)}}.
  5. E
    T = \frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{G(9M + \sqrt{3}m)}}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada planeta descreve uma circunferência de raio R em torno da estrela, que fica no centro do triângulo equilátero. Esse raio é a distância do centro a um vértice (circunraio): R=\frac{a}{\sqrt{3}}.

A força resultante sobre um planeta é centrípeta e tem duas partes:

  1. Atração da estrela, dirigida ao centro: F_1=\frac{GMm}{R^2}=\frac{3GMm}{a^2}.

  2. Atração dos outros dois planetas, cada uma com módulo \frac{Gm^2}{a^2}. Os dois vetores formam 60^\circ entre si e o centro está na bissetriz, então cada um faz 30^\circ com a direção ao centro. A componente radial total é F_2=2\cdot\frac{Gm^2}{a^2}\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}\,Gm^2}{a^2}.

A resultante centrípeta é, então:

F=\frac{Gm}{a^2}\left(3M+\sqrt{3}\,m\right)

Igualando a m\omega^2R=m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,\frac{a}{\sqrt{3}}:

\frac{4\pi^2 a}{\sqrt{3}\,T^2}=\frac{G}{a^2}\left(3M+\sqrt{3}\,m\right)
T^2=\frac{4\pi^2a^3}{\sqrt{3}\,G\left(3M+\sqrt{3}\,m\right)}=\frac{4\pi^2a^3}{3G\left(\sqrt{3}M+m\right)}
T=\frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{3G(\sqrt{3}M+m)}}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExpressão sem origem na soma das forças; o fator \sqrt{3} aparece no numerador e a combinação 9M+8m não resulta do cálculo.
  • BSoma as forças dos planetas sem decompor na direção radial e usa R=a em vez de a/\sqrt{3}.
  • DUsa a atração da estrela correta, mas soma m sem o fator \sqrt{3} da componente radial e ignora o fator de R.
  • EErra a combinação dos termos de massa, mantendo 9M sem a razão correta com o termo \sqrt{3}m.

Assuntos: gravitação universal, movimento circular, composição de forças.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗