PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Considere m \in \mathbb{R} positivo. A sequência r_k é uma progressão geométrica crescente de termos positivos de razão q e termo inicial r_1 = q. As circunferências

C_k : (x - r_k)^2 + (y - mr_k)^2 = r_k^2

são duas a duas tangentes externamente, nessa ordem. A expressão de q em função de m é

  1. A
    \frac{\sqrt{m^2 + 1} + 1}{m}.
  2. B
    \left(\frac{\sqrt{m^2 + 1} + 1}{m}\right)^2.
  3. C
    \frac{\sqrt{m^2 + 1} - 1}{m}.
  4. D
    \left(\frac{\sqrt{m^2 + 1} - 1}{m}\right)^2.
  5. E
    \frac{m^2 + 1}{m}.
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Resolução comentada

Cada circunferência C_k tem centro (r_k, mr_k) e raio r_k. Os centros ficam todos sobre a reta y = mx, e a distância entre dois centros consecutivos é

d = \sqrt{(r_{k+1}-r_k)^2 + m^2(r_{k+1}-r_k)^2} = (r_{k+1}-r_k)\sqrt{1+m^2}.

A PG é crescente, então r_{k+1} > r_k e a diferença é positiva.

Tangência externa: a distância entre os centros é a soma dos raios.

(r_{k+1}-r_k)\sqrt{m^2+1} = r_{k+1} + r_k.

Como r_{k+1} = q\,r_k, dividimos por r_k:

(q-1)\sqrt{m^2+1} = q+1.

Isolando q, com s=\sqrt{m^2+1}:

qs - s = q + 1 \Rightarrow q(s-1) = s+1 \Rightarrow q = \frac{s+1}{s-1}.

Racionalizando, multiplicamos numerador e denominador por s+1:

q = \frac{(s+1)^2}{s^2-1} = \frac{(s+1)^2}{m^2} = \left(\frac{\sqrt{m^2+1}+1}{m}\right)^2.

Verificação: q>1, como exige a PG crescente, pois s>1.

O fato de r_1 = q não altera a razão, que vale para qualquer par de termos consecutivos.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem racionaliza \frac{s+1}{s-1} e esquece de manter o quadrado de s+1 no numerador.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece de elevar ao quadrado: (s+1)/m é só a raiz de q, pois (s+1)^2/m^2 é a razão correta.
  • CTem o sinal trocado e não elevado ao quadrado; daria q<1, contrariando a PG crescente.
  • DÉ o inverso de q (razão de uma PG decrescente), valor menor que 1.
  • EExpressão sem relação com a condição de tangência; não satisfaz (q-1)s=q+1.

Assuntos: geometria analítica, progressão geométrica, circunferências tangentes.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗