PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Seja A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}. A quantidade de bijeções F : A \longrightarrow A que satisfazem F(1) < F(5) < F(3) e F(7) < F(2) é

  1. A
    3360.
  2. B
    4200.
  3. C
    5040.
  4. D
    5880.
  5. E
    6720.
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Resolução comentada

Uma bijeção de A em A é uma permutação: atribuímos os valores 1,\dots,8 às posições (entradas) 1,\dots,8, sem repetir. As condições são desigualdades entre os valores F(1), F(5), F(3) e entre F(7), F(2).

A ideia é contar as permutações totais e depois impor as ordens, que reduzem a contagem por fatores de simetria.

  1. Total de bijeções: 8! = 40320.

  2. As entradas 1, 5, 3 recebem três valores distintos. Dos 3! = 6 modos de ordená-los, só um satisfaz F(1)<F(5)<F(3). Isso reduz a contagem por um fator 6.

  3. As entradas 7, 2 recebem dois valores distintos. Dos 2! = 2 modos, só um satisfaz F(7)<F(2). Fator 2.

  4. Os dois grupos de entradas são disjuntos (\{1,5,3\} e \{7,2\}), então as ordens são independentes. As entradas 4,6,8 ficam livres.

Assim:

\frac{8!}{3!\cdot 2!} = \frac{40320}{12} = 3360.

Conferindo de outro modo: escolhemos 3 valores para o grupo de 3 entradas, \binom{8}{3}=56 (ordem fixa); depois 2 valores dos 5 restantes para o grupo de 2, \binom{5}{2}=10 (ordem fixa); os 3 valores restantes vão às 3 entradas livres de 3!=6 modos. Total: 56\cdot 10\cdot 6 = 3360.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem justificativa; não corresponde a dividir 8! por 3!\cdot 2!.
  • CCorresponde a 7!, ignorando o fator de ordenação e tratando as condições de modo errado.
  • DValor sem relação com a divisão correta de 8! pelos fatoriais dos dois grupos.
  • EDivide 8! apenas por 3!, esquecendo a condição F(7)<F(2) (fator 2).

Assuntos: permutações com restrição de ordem, análise combinatória.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗