PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Ao redor de uma carga elétrica Q, localizada no ponto (0, R/2), existe uma casca metálica aterrada de raio R e com centro localizado na origem do sistema de coordenadas, conforme ilustrado na figura.

Casca metálica circular de raio R, centrada na origem dos eixos x e y e ligada à terra por um fio na parte inferior esquerda. A carga Q está sobre o semieixo positivo de y, no ponto (0, R/2). Uma seta radial parte da origem em direção à parte inferior direita da casca e está identificada por R.

A respeito dessa situação física, são feitas as seguintes afirmações.
I. O campo elétrico no exterior da casca metálica é nulo.
II. A carga elétrica induzida na casca metálica é igual a -Q.
III. O campo elétrico no ponto (0, 3R/4) é mais intenso do que o campo elétrico no ponto (0, R/4).

Assinale a alternativa que contém todas as afirmações corretas com respeito ao sistema descrito.

  1. A
    I
  2. B
    I e II
  3. C
    I e III
  4. D
    II e III
  5. E
    I, II e III
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Resolução comentada

Uma casca metálica aterrada que envolve uma carga funciona como blindagem eletrostática: o potencial da casca é zero e o campo fora dela é nulo.

Afirmação I. A carga Q induz cargas na face interna da casca. Como a casca está aterrada, o excesso de carga na face externa escoa para a terra. Assim, não há carga líquida na face externa e, por Gauss, o campo no exterior é nulo. Verdadeira.

Afirmação II. Tomando uma superfície gaussiana dentro do metal da casca, o campo é nulo, então o fluxo é nulo e a carga total envolvida é zero. Logo, a carga induzida na face interna vale -Q. Verdadeira.

Afirmação III. Dentro da casca, o campo é o da carga Q somado ao das cargas induzidas. Pelo método das imagens, o campo no interior equivale ao de Q mais uma carga imagem Q' fora da casca. Para a esfera aterrada, com Q a d=R/2 do centro:

Q'=-Q\frac{R}{d}=-2Q,\qquad d'=\frac{R^2}{d}=2R

A imagem fica em (0,2R), no eixo y.

No ponto (0,3R/4), a distância até Q é R/4 e até a imagem é 5R/4. O campo de Q aponta para cima. A imagem é negativa e está acima, então atrai e também aponta para cima. Os módulos são:

E=kQ\left[\frac{1}{(R/4)^2}+\frac{2}{(5R/4)^2}\right]=\frac{kQ}{R^2}\left[16+1{,}28\right]=17{,}28\,\frac{kQ}{R^2}

No ponto (0,R/4), a distância até Q é R/4 e até a imagem é 7R/4. O campo de Q aponta para baixo e o da imagem aponta para cima:

E=\frac{kQ}{R^2}\left[16-\frac{2\cdot16}{49}\right]\approx 15{,}3\,\frac{kQ}{R^2}

Portanto, 17{,}28>15{,}3 e a afirmação é verdadeira.

As três afirmações estão corretas.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a carga induzida é -Q e que o campo é maior em 3R/4.
  • BAcerta I e II, mas erra ao negar a III; o campo em 3R/4 é maior (cerca de 17,3 contra 15,3 em unidades de kQ/R^2).
  • CNega a II, mas a casca aterrada tem carga induzida -Q pela lei de Gauss.
  • DNega a I, mas a casca aterrada blinda o exterior e o campo fora dela é nulo.

Assuntos: eletrostática, blindagem eletrostática, método das imagens.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗