PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Considere que no experimento de Young da dupla fenda, uma lente, composta de um material com índice de refração n (1 < n < 2), no formato de um semicírculo de raio R, é colocada na saída de uma das fendas, conforme mostra a figura.

Esquema do experimento de dupla fenda: duas fendas à esquerda estão separadas por uma distância a, com cada fenda a uma distância a/2 da linha horizontal tracejada central. Uma lente semicircular sombreada, de raio R indicado por uma seta, está na saída da fenda superior, com a face plana à esquerda e a face curva à direita. À direita há um anteparo vertical, no qual a linha tracejada marca a posição 0. Uma seta horizontal de duas pontas indica a distância L entre o plano das fendas e o anteparo.

Sabendo que o comprimento de onda \lambda é maior que R e que a distância entre o anteparo e as fendas, L, é muito maior do que \lambda, assinale a alternativa que corresponde à expressão da posição x_m do m-ésimo pico do padrão de interferência acima do máximo central.

  1. A
    (\lambda m + (n - 1)R)\dfrac{L}{a}
  2. B
    (\lambda m - nR)\dfrac{L}{a}
  3. C
    \lambda m\dfrac{L}{a} + (n - 1)R
  4. D
    (\lambda m + nR)\dfrac{L}{a}
  5. E
    (\lambda m - nR)\dfrac{L}{2a}
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Resolução comentada

Em Young, a posição dos máximos depende da diferença de caminho óptico entre as duas ondas que chegam a um ponto do anteparo.

Sem a lente, a diferença de caminho geométrica para um ponto a uma altura x (com L \gg a) é \Delta = \dfrac{a x}{L}, medida a partir da fenda de cima (mais próxima do ponto) em relação à de baixo, com sinal a ser definido.

A lente é um semicírculo com a face plana junto à fenda, e a fenda fica no centro da face plana. Os raios saem da fenda na direção radial, então atravessam sempre a distância R dentro do material, e saem perpendiculares à face curva, sem desvio. A luz percorre R no vidro, e o caminho óptico nessa região é nR, em vez de R no ar.

O caminho óptico extra da fenda de cima é (n-1)R.

Para o ponto acima do centro, a onda da fenda de cima percorre menos caminho geométrico, e o caminho óptico dela é:

\text{caminho}_{\text{cima}} = r_1 + (n-1)R, \qquad \text{caminho}_{\text{baixo}} = r_2,

com r_2 - r_1 = \dfrac{a x}{L}.

A diferença de caminho óptico é:

r_2 - r_1 - (n-1)R = \dfrac{a x}{L} - (n-1)R

Máximo de interferência construtiva exige que essa diferença seja m\lambda:

\dfrac{a x_m}{L} - (n-1)R = m\lambda \;\Rightarrow\; x_m = \big(m\lambda + (n-1)R\big)\dfrac{L}{a}

A condição \lambda > R garante que o deslocamento (n-1)R < \lambda (pois n<2), de modo que o máximo central apenas se desloca para cima e a contagem m dos picos acima dele continua válida.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa nR e sinal negativo, ignorando que o caminho no ar seria R e que a lente desloca o padrão para cima.
  • Cnão multiplica o termo (n-1)R pelo fator L/a, misturando dimensões.
  • Dusa nR em vez da diferença (n-1)R, esquecendo o caminho que seria percorrido no ar.
  • Eusa nR com sinal errado e o denominador 2a incorreto.

Assuntos: experimento de Young, caminho óptico, interferência.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗