PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Um professor montou um experimento com dois pêndulos simples, com fios de mesmo comprimento. Os pêndulos se mantiveram perfeitamente síncronos, cada qual com período de 2\text{ s}, em um dia cuja temperatura local era de 10^\circ\text{C}. Num outro dia, passados alguns minutos, notou-se que os pêndulos perdiam a sincronicidade. O professor associou tal fenômeno à variação de temperatura local, já que o termômetro do laboratório marcava 30^\circ\text{C} naquele dia e que o coeficiente de dilatação térmica dos fios era de \alpha_1 = 2 \times 10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1} e \alpha_2 = 7 \times 10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}.

Assinale a alternativa que contém a melhor estimativa do intervalo de tempo entre o início do movimento e o instante em que os pêndulos apresentaram uma defasagem de meio ciclo pela primeira vez.

  1. A
    17 min
  2. B
    33 min
  3. C
    40 min
  4. D
    66 min
  5. E
    80 min
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Resolução comentada

O período de um pêndulo simples é T = 2\pi\sqrt{L/g}, então T \propto \sqrt{L}. Com a dilatação, L = L_0(1+\alpha\Delta\theta) e, usando (1+x)^n \approx 1+nx:

T \approx T_0\left(1+\tfrac{1}{2}\alpha\Delta\theta\right)

Com \Delta\theta = 20\ ^\circ\text{C} e T_0 = 2\ \text{s}:

  1. Fio 1: T_1 = 2(1 + \tfrac12 \cdot 2\times10^{-5}\cdot 20) = 2(1+2\times10^{-4}) = 2{,}0004\ \text{s}.
  2. Fio 2: T_2 = 2(1 + \tfrac12 \cdot 7\times10^{-5}\cdot 20) = 2(1+7\times10^{-4}) = 2{,}0014\ \text{s}.
  3. Diferença: \Delta T = 2\times(5\times10^{-4}) = 1\times10^{-3}\ \text{s} por oscilação.

Defasagem de meio ciclo significa que um pêndulo está meio período à frente do outro, ou seja, cerca de 1\ \text{s} de diferença acumulada.

Após N oscilações, a diferença acumulada é N\cdot\Delta T. Então:

N = \frac{1}{10^{-3}} = 1000\ \text{oscilações}

O tempo é t \approx N\cdot T \approx 1000 \times 2 = 2000\ \text{s}, ou seja, 2000/60 \approx 33\ \text{min}.

Poderíamos refinar com o período médio, mas a diferença é desprezível nessa estimativa.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem considera defasagem de um ciclo inteiro (2 s) em vez de meio ciclo (1 s), dobrando o tempo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa meio período de defasagem como 0,5 s, em vez de meio período de 2 s, que é 1 s, ou erra a contagem das oscilações.
  • CNão corresponde a nenhuma conta correta; valor sem origem no cálculo de 1000 oscilações.
  • DDobra o resultado, tratando a defasagem como um ciclo completo (2 s) em vez de meio ciclo.
  • EValor sem relação com o cálculo, que dá cerca de 2000 s.

Assuntos: pêndulo simples, dilatação térmica, aproximação binomial.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗