PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Na sua obra “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo”, Galileu Galilei cita a variação de tamanho aparente de Marte no céu como uma evidência de que os planetas não orbitavam a Terra:

Simplício: Mas quais são os indícios de que eles se movem em torno do Sol?
Salviati: Isso se conclui, para os três planetas superiores, Marte, Júpiter e Saturno, a partir de eles se encontrarem sempre muito próximos à Terra quando estão em oposição ao Sol, e muito distantes quando estão em conjunção; e estas aproximação e afastamento têm tanta importância que, quando Marte está próximo, vê-se 60 vezes maior que quando está afastadíssimo (MARICONDA, 2011, p. 404).

Com base nos dados disponíveis no trecho e sabendo que a razão apontada por Galileu refere-se à área aparente de Marte visto da Terra, assinale a alternativa que contém a melhor estimativa do período de revolução de Marte ao redor do Sol em meses terrestres.

  1. A
    13 meses
  2. B
    18 meses
  3. C
    30 meses
  4. D
    42 meses
  5. E
    55 meses
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Galileu diz que Marte parece 60 vezes maior em área quando está próximo. A área aparente é proporcional a 1/d^2, sendo d a distância até a Terra. Assim, a razão entre as distâncias é d_{longe}/d_{perto}=\sqrt{60}\approx 7{,}7.

Supondo órbitas circulares e coplanares, com raios R_T (Terra) e R_M (Marte):

  • perto (oposição): d_{perto}=R_M-R_T
  • longe (conjunção): d_{longe}=R_M+R_T
  1. \dfrac{R_M+R_T}{R_M-R_T}=7{,}7
  2. R_M+R_T=7{,}7R_M-7{,}7R_T
  3. 8{,}7R_T=6{,}7R_M
  4. R_M/R_T=8{,}7/6{,}7\approx 1{,}30

A terceira lei de Kepler diz que T^2\propto R^3. Com T_T=12 meses:

T_M=12\cdot(1{,}30)^{3/2}

Calculando: 1{,}3^{3/2}=1{,}3\cdot\sqrt{1{,}3}\approx1{,}3\cdot1{,}14\approx1{,}48. Logo T_M\approx 12\cdot1{,}48\approx 17{,}8 meses, ou seja, cerca de 18 meses.

Alternativa B.

Pegadinha: A razão 60 é de área aparente, não de distância; é preciso tirar a raiz quadrada (7,7) antes de usar R_M+R_T e R_M-R_T.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AFica próximo do período da Terra (12 meses), ignorando a terceira lei com a razão de raios correta.
  • CUsa a razão 60 direto como razão de distâncias ou outro erro de potência, superestimando o raio.
  • DResulta de erro na razão de raios (por exemplo, usar 7,7 como razão entre raios), dando período grande demais.
  • ESuperestima muito o raio da órbita, por não extrair a raiz da razão de áreas nem usar R_M\pm R_T.

Assuntos: leis de Kepler, tamanho aparente, órbitas planetárias.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗