PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Sejam duas bases de lançamento de foguete. A primeira localizada em uma cidade no equador terrestre e a segunda na latitude 60^\circ.

Assinale a alternativa que corresponde à melhor estimativa da razão entre os impulsos necessários para que um foguete seja lançado ao espaço partindo da primeira base e da segunda base.

  1. A
    1{,}08
  2. B
    0{,}98
  3. C
    0{,}87
  4. D
    0{,}76
  5. E
    0{,}68
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Resolução comentada

O impulso é a variação da quantidade de movimento: I = \Delta p = m\,(v_f - v_i). Para o foguete chegar ao espaço, a velocidade final em relação a um referencial inercial (o centro da Terra) é a mesma nos dois casos. A diferença está na velocidade inicial, que é a do ponto da superfície devido à rotação da Terra.

A velocidade de rotação depende do raio da trajetória circular: no equador o raio é R, e na latitude 60^\circ é R\cos 60^\circ = R/2.

  1. Período de rotação: T = 24\ \text{h} = 86400\ \text{s}.
  2. No equador: v_1 = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2\cdot 3{,}14\cdot 6{,}4\times10^6}{86400} \approx 465\ \text{m/s}.
  3. Em 60^\circ: v_2 = v_1/2 \approx 232\ \text{m/s}.

A velocidade final é da ordem da velocidade de escape: v_e = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}7\times10^{-11}\cdot6\times10^{24}}{6{,}4\times10^6}} = \sqrt{1{,}256\times10^{8}} \approx 1{,}12\times10^4\ \text{m/s}.

A razão entre os impulsos é:

\frac{I_1}{I_2} = \frac{v_e - v_1}{v_e - v_2} = \frac{11200-465}{11200-232} = \frac{10735}{10968} \approx 0{,}98

Como a rotação ajuda pouco perto da velocidade de escape, a razão fica ligeiramente abaixo de 1: no equador precisa-se de um pouco menos de impulso.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem inverte a razão, esquecendo que o equador, com maior velocidade inicial, precisa de menor impulso.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AInverte a razão, colocando o impulso do equador maior que o da latitude 60°, o que contraria o ganho da rotação.
  • CValor muito baixo, que ignora que a velocidade de rotação é desprezível frente à de escape.
  • DExigiria uma contribuição da rotação muito maior do que os cerca de 465 m/s reais.
  • EValor incompatível: a rotação reduz o impulso em apenas cerca de 4%, não em 30%.

Assuntos: impulso e quantidade de movimento, velocidade de escape, rotação da Terra.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗