PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Considere o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (\sqrt{2}, \sqrt{3}) e C = \left(\frac{5}{2}\sqrt{2}, 0\right).

A equação da reta que passa por B e é perpendicular à bissetriz do ângulo A\hat{B}C é:

  1. A
    y = (5 - 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}.
  2. B
    y = (5 + 2\sqrt{6})x - 3\sqrt{3} - 5\sqrt{2}.
  3. C
    y = (5 - \sqrt{6})x + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{2}.
  4. D
    y = -(5 + 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}.
  5. E
    y = (-5 + 2\sqrt{6})x - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}.
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Resolução comentada

A reta perpendicular à bissetriz interna do ângulo A\hat{B}C que passa por B é a bissetriz externa. Sua direção é \vec u_1-\vec u_2, em que \vec u_1 e \vec u_2 são os vetores unitários de \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}. Já a bissetriz interna tem direção \vec u_1+\vec u_2.

  1. Vetores a partir de B: \overrightarrow{BA}=(-\sqrt2,-\sqrt3), com módulo \sqrt5. \overrightarrow{BC}=\left(\frac{3\sqrt2}{2},-\sqrt3\right), com módulo \sqrt{\frac92+3}=\frac{\sqrt{30}}{2}.

  2. Unitários, com denominador comum \sqrt{30}: \vec u_1=\frac{(-\sqrt2,-\sqrt3)\sqrt6}{\sqrt{30}}=\frac{(-2\sqrt3,-3\sqrt2)}{\sqrt{30}} e \vec u_2=\frac{(3\sqrt2,-2\sqrt3)}{\sqrt{30}}.

  3. Direção da bissetriz externa: \vec u_1-\vec u_2\propto(-2\sqrt3-3\sqrt2,\ 2\sqrt3-3\sqrt2).

  4. Coeficiente angular:

    m=\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{3\sqrt2+2\sqrt3}=\frac{(3\sqrt2-2\sqrt3)^2}{18-12}=\frac{30-12\sqrt6}{6}=5-2\sqrt6.

  5. Equação: y-\sqrt3=(5-2\sqrt6)(x-\sqrt2). O termo independente é \sqrt3-5\sqrt2+2\sqrt{12}=\sqrt3-5\sqrt2+4\sqrt3=5\sqrt3-5\sqrt2.

Logo y=(5-2\sqrt6)x+5\sqrt3-5\sqrt2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BTem o coeficiente angular com sinal trocado no radical e o termo independente errado.
  • CCoeficiente 5-\sqrt6 não resulta da conta; o termo independente também não confere.
  • DCoeficiente angular negativo, que não corresponde à bissetriz externa.
  • ECoeficiente é o oposto do correto e o termo independente não confere.

Assuntos: geometria analítica, bissetriz, retas perpendiculares.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗