PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Sejam a = 1 + 3\sqrt{3}i e b = 2\sqrt{3} + 4i números complexos. O menor valor m \in \mathbb{N} tal que a^m = b^m é:

  1. A
    6.
  2. B
    8.
  3. C
    10.
  4. D
    12.
  5. E
    não existe m \in \mathbb{N} satisfazendo esta igualdade.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para que a^m=b^m (com b\neq 0), é preciso que (a/b)^m=1, ou seja, a/b deve ser uma raiz da unidade. Em particular, os módulos de a e b têm de ser iguais.

  1. Módulo de a: |a|^2 = 1 + 27 = 28.
  2. Módulo de b: |b|^2 = 12 + 16 = 28.

Os módulos coincidem, então |a/b|=1. Falta checar o argumento.

  1. Calculamos \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\,\overline{b}}{|b|^2}, com \overline{b}=2\sqrt3-4i:
a\overline{b}=(1+3\sqrt3 i)(2\sqrt3-4i)=2\sqrt3-4i+18i-12\sqrt3 i^2=2\sqrt3+12\sqrt3+14i=14\sqrt3+14i.
  1. Dividindo por 28:
\frac{a}{b}=\frac{14\sqrt3+14i}{28}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i=\cos 30^\circ+i\,\sen 30^\circ.
  1. Pela fórmula de De Moivre, (a/b)^m=\cos(30^\circ m)+i\,\sen(30^\circ m). Isso vale 1 quando 30^\circ m é múltiplo de 360^\circ, isto é, m múltiplo de 12.

O menor m\in\mathbb{N} é 12.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem para na metade da volta: m=6 leva a -1, e é preciso uma volta completa (360^\circ) para chegar a 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Am=6 dá (a/b)^6=\cos180^\circ+i\,\sen180^\circ=-1, não 1.
  • Bm=8 dá ângulo 240^\circ, que não é múltiplo de 360^\circ.
  • Cm=10 dá ângulo 300^\circ, que não é múltiplo de 360^\circ.
  • EExiste m, pois a/b tem módulo 1 e argumento 30^\circ, uma raiz da unidade.

Assuntos: números complexos, forma trigonométrica, potenciação de complexos.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗