PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Considere a elipse dada pela equação

\lambda x^2 + (\lambda + 4)y^2 - 4\lambda x - (10\lambda + 40)y + 25(\lambda + 4) - \lambda^2 = 0,

e o círculo de equação
x^2 + y^2 - 4x - 12y + 36 = 0.

Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de \lambda \in \mathbb{R} - \{-4, 0\} quando a excentricidade da elipse é máxima é igual a:

  1. A
    3.
  2. B
    5.
  3. C
    9.
  4. D
    13.
  5. E
    15.
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Resolução comentada

Complete os quadrados na equação da elipse. Como 10\lambda+40=10(\lambda+4), os termos em y ficam (\lambda+4)(y^2-10y). Então:

\lambda(x-2)^2+(\lambda+4)(y-5)^2=\lambda(\lambda+4).

Dividindo por \lambda(\lambda+4):

\frac{(x-2)^2}{\lambda+4}+\frac{(y-5)^2}{\lambda}=1.

Para ser elipse, é preciso \lambda>0. Nesse caso o semieixo maior é horizontal, com a^2=\lambda+4, e b^2=\lambda. O centro é (2,5).

A excentricidade é

e^2=1-\frac{\lambda}{\lambda+4}=\frac{4}{\lambda+4}.

Logo e é máxima quando \lambda é o menor possível.

O círculo é (x-2)^2+(y-6)^2=4, com centro (2,6) e raio 2. Com u=x-2 e v=y-5, seus pontos são u=2\cos\theta e v=1+2\sen\theta. Seja s=\sen\theta.

O círculo está dentro da elipse se, para todos os seus pontos, \dfrac{u^2}{\lambda+4}+\dfrac{v^2}{\lambda}\le 1. Substituindo:

f(s)=\frac{4(1-s^2)}{\lambda+4}+\frac{(1+2s)^2}{\lambda}.

O coeficiente de s^2 é \frac{4}{\lambda}-\frac{4}{\lambda+4}>0. Então f é convexa em s e seu máximo em [-1,1] ocorre nas extremidades:

  • s=1: f=\dfrac{9}{\lambda};
  • s=-1: f=\dfrac{1}{\lambda}.

O máximo é \dfrac{9}{\lambda}, e a condição fica \dfrac{9}{\lambda}\le 1, ou seja, \lambda\ge 9.

O menor valor é \lambda=9, que dá a excentricidade máxima.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom \lambda=3 a condição 9/\lambda\le1 falha: o círculo sai da elipse.
  • BCom \lambda=5 também vale 9/\lambda>1, então o círculo não fica contido.
  • DSatisfaz a contenção, mas \lambda=13 não é o menor valor, então a excentricidade não é máxima.
  • ESatisfaz a contenção, mas a excentricidade é menor que a de \lambda=9.

Assuntos: elipse, excentricidade, posição relativa entre círculo e elipse.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗