Questão 45 do ITA 2024

Question

Considere um triângulo ABC e M o ponto médio do lado BC. Tome o ponto R \neq A na reta AB tal que m(\overline{AB}) = m(\overline{BR}) e o ponto Q na reta AC tal que m(\overline{AC}) = 2\ m(\overline{CQ}) e Q não esteja no segmento \overline{AC}. A reta RM corta o lado \overline{AC} no ponto S e a reta QM corta o lado \overline{AB} no ponto P. Sendo 24 a área do triângulo ABC, o valor da área do quadrilátero APMS vale:

A
15.
B
16.
C
17.
D
18.
E
19.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Considere um triângulo ABC e M o ponto médio do lado BC. Tome o ponto R \neq A na reta AB tal que m(\overline{AB}) = m(\overline{BR}) e o ponto Q na reta AC tal que m(\overline{AC}) = 2\ m(\overline{CQ}) e Q não esteja no segmento \overline{AC}. A reta RM corta o lado \overline{AC} no ponto S e a reta QM corta o lado \overline{AB} no ponto P. Sendo 24 a área do triângulo ABC, o valor da área do quadrilátero APMS vale:

A
15.
B
16.
C
17.
D
18.
E
19.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Use coordenadas afins: A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1), de modo que a área do triângulo seja \frac12, e depois multiplique por 48 para obter a área 24.

M=\left(\frac12,\frac12\right).
R é o simétrico de A em relação a B: R=(2,0).
Q está na reta AC, fora do segmento, com CQ=\frac{AC}{2}. Então Q=(0,\frac32).

Ponto S: reta RM passa por (2,0) e \left(\frac12,\frac12\right). O coeficiente angular é \frac{1/2}{-3/2}=-\frac13, então y=-\frac13(x-2). Em x=0: y=\frac23, logo S=\left(0,\frac23\right).

Ponto P: reta QM passa por \left(0,\frac32\right) e \left(\frac12,\frac12\right). O coeficiente angular é \frac{-1}{1/2}=-2, então y=\frac32-2x. Em y=0: x=\frac34, logo P=\left(\frac34,0\right).

Área de APMS, com vértices A(0,0), P\left(\frac34,0\right), M\left(\frac12,\frac12\right), S\left(0,\frac23\right). Pela fórmula do cordão (shoelace):

2\cdot\text{área}=\left|(0\cdot0-\tfrac34\cdot0)+\left(\tfrac34\cdot\tfrac12-\tfrac12\cdot0\right)+\left(\tfrac12\cdot\tfrac23-0\cdot\tfrac12\right)+0\right|=\tfrac38+\tfrac13=\tfrac{17}{24}

Portanto a área é \frac{17}{48}.

Como o triângulo de referência tem área \frac12 e o real tem 24, o fator é 48. Área real: \frac{17}{48}\cdot48=17.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as razões de área corretas; resulta de posicionar mal P ou S.
BErro na posição de Q ou R, o que altera as áreas dos triângulos retirados.
DValor arredondado que ignora a posição exata de P e S nos lados.
EExagera a área por tomar S ou P mais distante do vértice A.

Assuntos: geometria analítica, áreas de triângulos, razões entre áreas.

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Questão 45 no caderno 1ª fase do ITA 2024

Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗