PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Um poliedro convexo tem 24 vértices e 36 arestas. Sabemos que cada vértice une 3 faces e que o número de arestas em cada face só pode assumir um entre dois valores m ou n. É CORRETO afirmar que:

  1. A
    é possível que m = 3 e n = 4.
  2. B
    é possível que m = 3 e n = 5.
  3. C
    é possível que m = 3 e n = 7.
  4. D
    é possível que m = 3 e n = 8.
  5. E
    é possível que m = 4 e n = 5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a relação de Euler, V - A + F = 2, com V=24 e A=36:

24 - 36 + F = 2 \Rightarrow F = 14.

Cada aresta pertence a 2 faces. Se f_m faces têm m lados e f_n faces têm n lados, então:

  1. f_m + f_n = 14
  2. m f_m + n f_n = 2A = 72

Cada vértice une 3 faces, então todo vértice tem grau 3 e 3V = 2A (72 = 72), o que é coerente e não dá condição nova.

Testando cada alternativa, com f_m, f_n inteiros não negativos:

  • (A) 3f_3 + 4f_4 = 72 com f_3 + f_4 = 14: 3\cdot 14 + f_4 = 72 \Rightarrow f_4 = 30, impossível.
  • (B) 3\cdot 14 + 2f_5 = 72 \Rightarrow f_5 = 15, impossível, pois passa de 14.
  • (C) 42 + 4f_7 = 72 \Rightarrow f_7 = 7{,}5, impossível.
  • (D) 42 + 5f_8 = 72 \Rightarrow f_8 = 6 e f_3 = 8. Valores inteiros e válidos.
  • (E) 4\cdot 14 + f_5 = 72 \Rightarrow f_5 = 16, impossível.

Somente a alternativa D fornece solução (8 triângulos e 6 octógonos).

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ALeva a 30 faces quadrangulares, mais que as 14 faces do poliedro.
  • BDá 15 faces pentagonais, mais que as 14 faces totais.
  • CDá 7,5 faces heptagonais, número não inteiro.
  • EDá 16 faces pentagonais, mais que 14.

Assuntos: relação de Euler, poliedros.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗