PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Considere um cilindro circular reto tal que a área da sua base A_1, a área da sua superfície lateral A_2 e o seu volume A_3 formem, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. A medida do raio da base pode estar no intervalo:

  1. A
    \left(1, \frac{5}{4}\right).
  2. B
    \left(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}\right).
  3. C
    \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right).
  4. D
    \left(\frac{7}{4}, 2\right).
  5. E
    \left(2, \frac{5}{2}\right).
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Sejam r o raio e h a altura. Então A_1=\pi r^2, A_2=2\pi r h e A_3=\pi r^2 h.

Em uma PG, o quadrado do termo do meio é o produto dos extremos: A_2^2=A_1\cdot A_3.

  1. Substituindo: (2\pi r h)^2=\pi r^2\cdot \pi r^2 h.
  2. Simplificando: 4\pi^2 r^2h^2=\pi^2 r^4 h, ou seja, 4h=r^2, logo h=\dfrac{r^2}{4}.

A PG deve ser crescente. A razão é q=\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{2\pi r h}{\pi r^2}=\dfrac{2h}{r}. Com h=\dfrac{r^2}{4}, temos q=\dfrac{r}{2}.

Como os termos são positivos, a PG é crescente quando q>1:

\frac{r}{2}>1\Rightarrow r>2.

O raio precisa ser maior que 2, e só a alternativa E está inteiramente nesse intervalo. Conferindo com r=3: h=\frac94, A_1=9\pi, A_2=2\pi\cdot3\cdot\frac94=\frac{27\pi}{2}, A_3=9\pi\cdot\frac94=\frac{81\pi}{4}. A razão é \frac32 nos dois passos, e a PG é crescente.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom r<2 a razão r/2 é menor que 1, e a PG seria decrescente.
  • BCom r<2 a razão é menor que 1, então a PG não é crescente.
  • CCom r<2 a razão é menor que 1, então a PG não é crescente.
  • DO intervalo termina em 2, e r=2 dá razão 1 (PG constante); abaixo disso ela decresce.

Assuntos: progressão geométrica, cilindro.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗