PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

O valor de k \in \mathbb{R} de modo que as raízes do polinômio p(x) = x^3 + 3x^2 - 6x + k estejam em progressão geométrica é:

  1. A
    -18.
  2. B
    -16.
  3. C
    -8.
  4. D
    -2.
  5. E
    -1.
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Resolução comentada

Se as raízes estão em progressão geométrica, podemos escrevê-las como \frac{a}{q}, a e aq. Esse truque simplifica o produto das três.

Pelas relações de Girard, para x^3 + 3x^2 - 6x + k:

  1. Soma das raízes: -3.
  2. Soma dos produtos dois a dois: -6.
  3. Produto das raízes: -k.

Produto das raízes: \frac{a}{q}\cdot a\cdot aq = a^3 = -k.

Soma dos produtos dois a dois: \frac{a}{q}\cdot a + \frac{a}{q}\cdot aq + a\cdot aq = a^2\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = -6.

Soma das raízes: a\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = -3.

Dividindo a segunda equação pela terceira (a soma \frac{1}{q}+1+q não é zero, pois o resultado é -3):

\frac{a^2\left(\frac{1}{q}+1+q\right)}{a\left(\frac{1}{q}+1+q\right)} = \frac{-6}{-3} \Rightarrow a = 2.

Logo a^3 = 8 = -k, ou seja, k = -8.

Verificação: com a=2, \frac{1}{q}+1+q = -\frac{3}{2}, ou seja, q + \frac1q = -\frac52, o que dá 2q^2+5q+2=0, com q=-2 ou q=-\frac12. As raízes são -1, 2 e -4: soma -3, produto 8. Confere.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem para em a=2 e dá -2 como resposta, esquecendo que k=-a^3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as relações de Girard; não satisfaz a^3=-k com a=2.
  • BResulta de erro no cálculo de a ou do produto; não corresponde a -a^3 com a=2.
  • DConfunde o valor de a (=2) com k, esquecendo de calcular -a^3.
  • EValor arbitrário; as raízes seriam incompatíveis com soma -3 e soma dos produtos -6.

Assuntos: relações de Girard, progressão geométrica, polinômios.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗