PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Considere o conjunto C = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}. Para cada escolha possível de a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4 \in C, dois a dois distintos, formamos o polinômio

a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4.

A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:

  1. A
    -\dfrac{17125}{4}.
  2. B
    -1800.
  3. C
    -360.
  4. D
    -\dfrac{351}{2}.
  5. E
    -\dfrac{101}{4}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Pelas relações de Girard, a soma das raízes (com multiplicidade) de a_4x^4+a_3x^3+\dots+a_0 é -\dfrac{a_3}{a_4}. Os coeficientes a_0,\dots,a_4 são uma permutação de \{1,2,3,4,5\}, então são 5! = 120 polinômios.

A soma pedida depende só de a_3 e a_4:

S=-\sum \frac{a_3}{a_4}
  1. Fixe o par ordenado (a_3,a_4) com a_3\neq a_4. Os outros três coeficientes podem ser distribuídos de 3!=6 modos.
  2. Some \dfrac{a_3}{a_4} sobre todos os pares ordenados de valores distintos. Para cada a_4=k, a soma dos a_3 possíveis é 15-k, então a soma vale \dfrac{15-k}{k}=\dfrac{15}{k}-1.
  3. Somando em k de 1 a 5:
    15\left(1+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac15\right)-5=15\cdot\tfrac{137}{60}-5=\tfrac{137}{4}-5=\tfrac{117}{4}
  4. Multiplicando por 6: 6\cdot\dfrac{117}{4}=\dfrac{351}{2}.

Portanto S=-\dfrac{351}{2}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com Girard; resulta de contas erradas com muitos termos.
  • BNão aplica corretamente a razão -a_3/a_4 sobre os 120 polinômios.
  • CEsquece de dividir por a_4 ou usa soma inteira de coeficientes (ex.: -3\cdot120).
  • ENão multiplica pelas 3!=6 permutações dos demais coeficientes (usa -117/4 ou semelhante).

Assuntos: relações de Girard, análise combinatória, polinômios.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗