PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 40 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Considere o conjunto:

A = \{1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256\}.

Qual o menor n \in \mathbb{N} tal que todo subconjunto de A com n elementos contenha pelo menos um par cujo produto seja 256?

  1. A
    n = 5.
  2. B
    n = 6.
  3. C
    n = 7.
  4. D
    n = 8.
  5. E
    n = 9.
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Resolução comentada

Os elementos de A são potências de 2: 2^0, 2^1, \ldots, 2^8. O produto de dois deles é 256 = 2^8 quando os expoentes somam 8.\n\nVamos listar os pares de expoentes distintos com soma 8:\n\n1. 0+8, ou seja, \{1, 256\};\n2. 1+7, ou seja, \{2, 128\};\n3. 2+6, ou seja, \{4, 64\};\n4. 3+5, ou seja, \{8, 32\}.\n\nSobra o expoente 4, isto é, o número 16. Ele só serve com ele mesmo (16\cdot 16 = 256), mas um par exige dois elementos distintos, então o 16 não forma par com ninguém.\n\nPortanto, temos 4 pares disjuntos e o elemento 16 isolado. Podemos escolher um elemento de cada par, mais o 16, sem formar nenhum par de produto 256: por exemplo \{1, 2, 4, 8, 16\}, com 5 elementos. Logo, com 5 elementos ainda é possível evitar o par, e n=5 não garante nada.\n\nSe escolhermos 6 elementos, pelo princípio da casa dos pombos: sem contar o 16, sobram pelo menos 5 elementos distribuídos em 4 pares. Dois deles caem no mesmo par, e o produto é 256.\n\nO subconjunto máximo sem par tem 5 elementos, então o menor n que garante o par é 6.\n\nAlternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem esquece o 16, que não forma par com ninguém, e acha que o máximo sem par é 4; o 16 permite 5 elementos sem par.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom 5 elementos, \{1,2,4,8,16\} não tem nenhum par com produto 256.
  • CExagera: 6 elementos já bastam pelo princípio da casa dos pombos.
  • DExagera: 6 elementos já bastam, não é preciso chegar a 8.
  • EÉ o conjunto inteiro; o mínimo pedido é menor.

Assuntos: princípio da casa dos pombos, potências de 2, combinatória.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗