PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 39 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Determine o valor de

\cos \left( 2 \operatorname{arctg} \left( \frac{4}{3} \right) \right) + \operatorname{sen} \left( 2 \operatorname{arctg} \left( \frac{4}{3} \right) \right).
  1. A
    \frac{17}{25}
  2. B
    \frac{4}{5}.
  3. C
    \frac{24}{25}.
  4. D
    \frac{28}{25}.
  5. E
    \frac{31}{25}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Seja \theta = \operatorname{arctg}\left(\frac{4}{3}\right), ou seja, \tg\theta = \frac{4}{3} com \theta no primeiro quadrante. Basta calcular \cos 2\theta + \sen 2\theta.

  1. Triângulo retângulo com catetos 4 e 3: a hipotenusa vale \sqrt{4^2+3^2}=5.
  2. Então \sen\theta = \frac{4}{5} e \cos\theta = \frac{3}{5}.
  3. Arco duplo do seno: \sen 2\theta = 2\sen\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} = \frac{24}{25}.
  4. Arco duplo do cosseno: \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sen^2\theta = \frac{9}{25}-\frac{16}{25} = -\frac{7}{25}.
  5. Soma: -\frac{7}{25}+\frac{24}{25} = \frac{17}{25}.

Conferindo com a fórmula \cos 2\theta = \frac{1-\tg^2\theta}{1+\tg^2\theta} = \frac{1-16/9}{1+16/9} = \frac{-7/9}{25/9} = -\frac{7}{25}, o que confirma o resultado.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece que 2\theta>90^\circ e toma \cos 2\theta positivo, e a C quem calcula só o seno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor \sen\theta=\frac{4}{5} sem dobrar o arco; não aplica as fórmulas de arco duplo.
  • CCalcula só \sen 2\theta=\frac{24}{25} e esquece de somar o cosseno, que é negativo.
  • DTroca o sinal de \cos 2\theta (usa +\frac{7}{25}), pois \theta>45^\circ e o cosseno do dobro é negativo.
  • ESoma \frac{24}{25} com \frac{7}{25}, errando o sinal do cosseno do arco duplo.

Assuntos: arco duplo, arco tangente, trigonometria.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗