PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Uma esfera de raio R possui uma cavidade esférica interna de raio R/2 conforme mostra a figura. A cavidade tangencia internamente a esfera no seu ápice A, que está a uma altura H = 15R do ponto S, localizado no solo verticalmente abaixo. Os dois centros de curvatura e o ponto A se encontram na linha vertical que passa por S. A esfera é então abandonada de seu repouso em queda livre, atinge o solo em S e inverte seu movimento.

Esquema de uma esfera de raio R, com a região sólida em cinza e uma cavidade esférica branca de raio R/2, tangente internamente à esfera no ápice A. Setas indicam os raios R e R/2. Uma linha vertical tracejada passa pelo ápice A, pelos centros da esfera e da cavidade e pelo ponto S no solo. Uma linha horizontal tracejada liga o ápice à indicação de altura H à esquerda. A linha horizontal inferior representa o solo, com as indicações H = 0 e S.

Considerando que a distribuição de massa é homogênea na região sólida do objeto e que o coeficiente de restituição da colisão é 0{,}80, a altura máxima alcançada pelo centro de massa da esfera após a colisão é aproximadamente igual a:

  1. A
    7{,}7R.
  2. B
    8{,}5R.
  3. C
    9{,}3R.
  4. D
    10{,}1R.
  5. E
    10{,}9R.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, ache o centro de massa (CM) da esfera com cavidade. Ponha a origem no centro da esfera cheia, com o eixo y para cima. O ápice A está em y=R, então o centro da cavidade está em y=R/2.

A massa é proporcional ao volume. Esfera cheia: R^3. Cavidade: (R/2)^3=R^3/8. Região sólida: \frac{7}{8}R^3.

CM da região sólida: a esfera cheia equivale à região sólida somada à cavidade, então

0=\frac{7}{8}y_{CM}+\frac{1}{8}\cdot\frac{R}{2}\Rightarrow y_{CM}=-\frac{R}{14}.

O CM fica a R/14 abaixo do centro geométrico.

Altura do CM no início: o centro geométrico está a 15R-R=14R do solo, logo o CM está a 14R-R/14.

No choque, a esfera toca o solo no ponto mais baixo, a R abaixo do centro geométrico, ou seja, o centro está a R do solo e o CM a R-R/14=\frac{13R}{14}.

A queda do CM é

h_1=14R-\frac{R}{14}-\frac{13R}{14}=14R-R=13R.

A velocidade de subida após o choque é v'=e\,v, e a altura de subida escala com e^2:

h_2=e^2h_1=0{,}64\cdot13R=8{,}32R.

A altura máxima do CM em relação ao solo é

\frac{13R}{14}+8{,}32R\approx0{,}93R+8{,}32R=9{,}25R\approx9{,}3R.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa e (em vez de e²) de forma errada ou ignora a altura inicial do CM, chegando a valor muito baixo.
  • BSoma só parte da altura do CM no solo, errando a posição do centro de massa.
  • DUsa a queda de 14R ou posição do CM errada, superestimando a altura.
  • EEsquece que a altura de subida escala com e² e usa valor muito alto.

Assuntos: centro de massa, coeficiente de restituição, queda livre.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗