PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 38 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Sejam A, B, C, D \in M_n(\mathbb{R}). Considere o sistema linear

\begin{cases} AX = B \\ DX + Y = C \end{cases}

nas variáveis X, Y \in M_n(\mathbb{R}). Considere as afirmações:
I. Se \det A = 0 ou \det D = 0, então o sistema é impossível.
II. Se A = B, então o sistema possui uma única solução.
III. O sistema possui uma única solução apenas se A e D são inversíveis.

É (São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    nenhuma.
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Resolução comentada

O sistema tem duas equações matriciais. Da segunda, Y = C - DX, então Y fica determinado por X sem restrição alguma. Assim, o número de soluções do sistema é o número de soluções de AX = B.

I. Falsa. Se \det A = 0, a equação AX = B ainda pode ter solução. Exemplo: A = B = 0 (matriz nula), em que qualquer X serve. Se \det D = 0, isso não afeta nada, pois Y = C - DX sempre existe. Logo o sistema não é necessariamente impossível.

II. Falsa. Se A = B, então AX = A tem X = I como solução, então o sistema é possível. Mas a solução é única só se A for inversível. Com A = B = 0, todo X serve e há infinitas soluções.

III. Falsa. Para ter solução única basta que AX = B tenha solução única, e isso exige A inversível, mas não exige nada de D. Com A = I e D = 0, temos X = B e Y = C, solução única, sem D inversível. Então "apenas se A e D inversíveis" é falso.

Nenhuma das afirmações é verdadeira.

Alternativa E.

Pegadinha: A afirmação III engana por pedir D inversível, quando só A importa, já que Y = C - DX sempre existe.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que \det A=0 ou \det D=0 impede solução, mas com A=B=0 há solução e D nem influencia, pois Y=C-DX.
  • BCom A=B o sistema é possível, mas a unicidade exige A inversível; com A=B=0 há infinitas soluções.
  • CA unicidade não exige D inversível: Y=C-DX sempre determina Y a partir de X.
  • DII é falsa (falta a inversibilidade de A) e III é falsa (D não precisa ser inversível).

Assuntos: sistemas lineares matriciais, matrizes inversíveis, determinante.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗