PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 37 do ITA 2024

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
A - B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A\hat{B}C : denota o ângulo formado pelos segmentos \overline{BA} e \overline{BC}, com vértice em B.
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Sejam A, B, C \subseteq \mathbb{R} tais que C \subseteq A. Considere as afirmações:

I. (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C).
II. A \cap B = C \cup (B \cap (\mathbb{R} - C)).
III. A \cap (B - C) = (A \cap B) - C.

É (São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    apenas I e II.
  2. B
    apenas I e III.
  3. C
    apenas II.
  4. D
    apenas III.
  5. E
    I, II e III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a hipótese C \subseteq A em cada afirmação.

I. Pela distributividade, A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C). Como C \subseteq A, temos A \cap C = C. Logo, A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup C. Verdadeira.

II. Vamos procurar um contraexemplo. Tome A = C = \{1\} e B = \emptyset. O lado esquerdo é A \cap B = \emptyset. No lado direito, B \cap (\mathbb{R} - C) = \emptyset, então C \cup \emptyset = \{1\}. Os dois lados são diferentes. Falsa. O lado direito sempre contém C, mas o esquerdo só contém C se C \subseteq B.

III. Escrevendo B - C = B \cap C^c, temos:

A \cap (B \cap C^c) = (A \cap B) \cap C^c = (A \cap B) - C.

Essa igualdade vale por associatividade e comutatividade da interseção, sem precisar da hipótese. Verdadeira.

As afirmações I e III são verdadeiras e a II é falsa.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem não testa a II: ela parece plausível, mas o lado direito sempre contém C, enquanto A \cap B só contém C se C \subseteq B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera a II verdadeira, mas ela falha quando C \not\subseteq B (o lado direito sempre contém C).
  • Caponta só a II, que é justamente a falsa, e ignora que I e III valem.
  • Dreconhece a III, mas esquece que I é verdadeira por A \cap C = C.
  • Einclui a II, que tem contraexemplo (A=C=\{1\}, B=\emptyset).

Assuntos: teoria dos conjuntos, operações com conjuntos.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗