PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Uma fonte luminosa está presa ao teto de um recinto fechado, a uma altura H do solo, conforme mostra a figura. No recinto há um objeto de altura h (h < H/2) a uma distância 2a de uma das paredes. A lâmpada desprende-se, iniciando um movimento de queda livre, e atinge o solo a uma distância 3a da parede. Considere que o efeito de reflexão de luz nas paredes é desprezível e que a fonte de luz é pontual.

Esquema de um recinto fechado mostrando uma parede à esquerda, um obstáculo vertical de altura h e uma lâmpada presa ao teto à altura H. O piso é dividido horizontalmente em intervalos: 2a entre a parede e o obstáculo, e a entre o obstáculo e a linha vertical sob a lâmpada.

Assinale a alternativa que apresenta a expressão correta do módulo da velocidade da sombra a partir do instante em que esta começa a ser projetada sobre a parede.

  1. A
    \sqrt{2g\left(H - \frac{3}{2}h\right)}
  2. B
    \sqrt{2g(H - h)}
  3. C
    \frac{1}{2}\sqrt{2g\left(H - \frac{3}{2}h\right)}
  4. D
    2\sqrt{2g\left(H - \frac{3}{2}h\right)}
  5. E
    2\sqrt{2g(H - h)}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Montamos a geometria: a parede está em x=0, o objeto (altura h) em x=2a e a lâmpada em x=3a, caindo na vertical. Seja y a altura da lâmpada em relação ao solo.

O raio que passa pelo topo do objeto vai da lâmpada (3a,\,y) até (2a,\,h) e continua rumo à parede. A sombra do topo do objeto aparece na parede quando o raio chega a x=0, numa altura z.

Por semelhança de triângulos, a inclinação do raio é \dfrac{y-h}{a} (variação de altura por distância horizontal a). Indo mais 2a até a parede, o raio desce mais 2(y-h). Logo:

z = h - 2(y-h) = 3h - 2y

A sombra só atinge a parede quando z \ge 0, isto é, y \le \frac{3h}{2}. Isso é coerente com h<H/2, pois então 3h/2 < H e a lâmpada ainda precisa cair.

A altura z da sombra na parede varia com y, então:

|v_{sombra}| = 2\,|v_{lâmpada}|

A lâmpada cai em queda livre, partindo do repouso, de H até y=\frac{3h}{2}, ou seja, percorre H-\frac{3h}{2} nesse instante. Por Torricelli:

v_{lâmpada}=\sqrt{2g\left(H-\tfrac{3}{2}h\right)}

Portanto:

v_{sombra}=2\sqrt{2g\left(H-\tfrac{3}{2}h\right)}

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana por trazer a velocidade de queda da lâmpada no instante certo, mas sem o fator 2 que relaciona a sombra à lâmpada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa a velocidade da lâmpada, esquecendo o fator 2 da semelhança de triângulos.
  • Busa o desnível H − h e omite o fator 2; a sombra chega à parede quando y = 3h/2.
  • Ccoloca o fator 1/2 em vez de 2, invertendo a razão da semelhança.
  • Etem o fator 2 correto, mas usa a queda H − h em vez de H − 3h/2.

Assuntos: queda livre, semelhança de triângulos, óptica geométrica.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗