PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do ITA 2024

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^3.

Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}. Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.

Aproximações numéricas: \sqrt{60} \approx 7{,}7. (1 + x)^n \approx 1 + nx quando |x| \ll 1.

Uma sonda composta por um conjunto de m espiras de raio r é colocada no interior de um solenoide de n espiras circulares e comprimento L. O solenoide é conectado a um circuito C composto por uma fonte de tensão variável U e um resistor de resistência elétrica R. A tensão da fonte cresce linearmente com o tempo t, conforme a relação:

U = \left(\frac{U_0}{t_0}\right)t,\quad \left(\frac{U_0}{t_0}\right) > 0.

A sonda é conectada a um voltímetro e orientada de modo que o eixo axial de suas espiras seja paralelo ao campo magnético. Considere que R é muito maior do que a resistência/impedância proporcionada pelo solenoide e que a permeabilidade magnética do interior do solenoide é \mu_0.

Esquema experimental mostrando o solenoide de comprimento L conectado a um circuito C com resistor R e fonte de tensão variável U. No interior do solenoide está inserida uma sonda conectada a um voltímetro, com indicação de vista superior mostrando a sonda coaxialmente no interior do solenoide.

A magnitude da tensão medida pelo voltímetro é:

  1. A
    \frac{mn\mu_0}{2L} \frac{\pi r^2}{R} \frac{U_0}{t_0}.
  2. B
    \frac{3mn\mu_0}{2L} \frac{\pi r^2}{R} \frac{U_0}{t_0}.
  3. C
    \frac{mn\mu_0}{L} \frac{\pi r^2}{R} \frac{U_0}{t_0}.
  4. D
    \frac{2mn\mu_0}{L} \frac{\pi r^2}{R} \frac{U_0}{t_0}.
  5. E
    \frac{2n\mu_0}{L} \frac{\pi r^2}{R} \frac{U_0}{t_0}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como R é muito maior que a impedância do solenoide, a corrente no circuito é determinada só pelo resistor: i = U/R = \frac{U_0}{R\,t_0}\,t. Ela cresce linearmente com o tempo.

O campo no interior de um solenoide ideal é B = \mu_0 \frac{n}{L}\, i. Logo:

B = \frac{\mu_0 n}{L}\,\frac{U_0}{R\,t_0}\,t

A sonda tem m espiras de raio r, com eixo paralelo ao campo. O fluxo total (concatenado) é:

\Phi = m\,B\,\pi r^2

Pela lei de Faraday, a tensão induzida em módulo é \varepsilon = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|. Como B é proporcional a t, a derivada é só o coeficiente de t:

\varepsilon = m\,\pi r^2\,\frac{\mu_0 n}{L}\,\frac{1}{R}\,\frac{U_0}{t_0} = \frac{mn\mu_0}{L}\,\frac{\pi r^2}{R}\,\frac{U_0}{t_0}

Essa expressão coincide com a alternativa C, sem fatores 2 ou 3/2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AInclui um fator 1/2 que não existe em B=\mu_0 n i/L nem na lei de Faraday.
  • BFator 3/2 sem nenhuma justificativa física.
  • DFator 2 extra, sem origem no cálculo do campo ou do fluxo.
  • EEsquece o número de espiras m da sonda e põe fator 2 indevido.

Assuntos: lei de Faraday, campo magnético de solenoide.

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Fonte: ITA 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗