PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Considere a função real

f(x) = cos(x) \cdot \left[\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 2\sen(x)\right] - \sen(x) \cdot \sen\left(\frac{x}{3}\right) - 2,

definida no intervalo I = {]-4\pi, 4\pi[}. Sobre a equação f(x) = 0, podemos afirmar que

  1. A
    não admite soluções em I.
  2. B
    admite uma única solução em I.
  3. C
    admite exatamente duas soluções em I.
  4. D
    admite exatamente três soluções em I.
  5. E
    admite exatamente quatro soluções em I.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Reorganize a expressão para reconhecer uma identidade de soma de arcos:

f(x)=\cos x\cos\frac{x}{3}-\sen x\,\sen\frac{x}{3}+2\sen x\cos x-2

Os dois primeiros termos formam \cos\left(x+\frac{x}{3}\right)=\cos\frac{4x}{3}, e 2\sen x\cos x=\sen 2x. Então:

f(x)=\cos\frac{4x}{3}+\sen 2x-2

Como \cos\frac{4x}{3}\le 1 e \sen 2x\le 1, temos f(x)\le 0, e a igualdade f(x)=0 só ocorre quando os dois termos valem 1 ao mesmo tempo:

  1. \cos\frac{4x}{3}=1 \Rightarrow \frac{4x}{3}=2k\pi \Rightarrow x=\frac{3k\pi}{2}, com k\in\mathbb{Z}.
  2. \sen 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2m\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+m\pi, com m\in\mathbb{Z}.

Igualando: \frac{3k\pi}{2}=\frac{\pi}{4}+m\pi. Multiplicando por \frac{4}{\pi}:

6k=1+4m

O lado esquerdo é par e o direito é ímpar, então não há inteiros k e m que satisfaçam. Logo os dois termos nunca valem 1 simultaneamente, f(x)<0 para todo x e a equação não tem solução em I (nem em \mathbb{R}).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bsupõe que as condições de máximo coincidem em algum ponto, mas 6k=1+4m é impossível por paridade.
  • Cconta soluções de cada condição separadamente, sem exigir que ocorram juntas.
  • Dconta soluções de uma das condições no intervalo, sem exigir as duas ao mesmo tempo.
  • Econta soluções de uma das condições no intervalo, sem exigir as duas ao mesmo tempo.

Assuntos: identidades trigonométricas, equação trigonométrica, valores máximos de seno e cosseno.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 47 no caderno 1ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗