PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 10\ cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é 30\pi\ cm^3. O perímetro desse triângulo é, em cm, igual a

  1. A
    10 + 4\sqrt{7}.
  2. B
    10 + 5\sqrt{7}.
  3. C
    10 + 2\sqrt{10}.
  4. D
    10 + 3\sqrt{10}.
  5. E
    10 + 4\sqrt{10}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Girando o triângulo em torno da hipotenusa, o sólido é formado por dois cones com a mesma base, cujo raio é a altura h relativa à hipotenusa. As alturas dos cones somam a hipotenusa: m + n = 10.

Volume total:

V=\frac{1}{3}\pi h^2 m+\frac{1}{3}\pi h^2 n=\frac{1}{3}\pi h^2(m+n)=\frac{10\pi h^2}{3}

Como V = 30\pi:

\frac{10\pi h^2}{3}=30\pi \Rightarrow h^2=9 \Rightarrow h=3\ \text{cm}

Sejam b e c os catetos. A área pode ser calculada de dois modos: \dfrac{bc}{2}=\dfrac{10\cdot 3}{2}, logo bc=30.

Pelo teorema de Pitágoras, b^2+c^2=100. Então:

(b+c)^2=b^2+c^2+2bc=100+60=160
b+c=\sqrt{160}=4\sqrt{10}

Perímetro: 10+4\sqrt{10}\ \text{cm}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor 4\sqrt{7} não resulta de (b+c)^2=160; vem de erro na soma dos quadrados ou do produto dos catetos.
  • B5\sqrt{7} não corresponde a nenhuma etapa correta; (b+c)^2 seria 175, e não 160.
  • C2\sqrt{10} equivale a (b+c)^2=40, esquecendo a soma de b^2+c^2=100 e 2bc.
  • D3\sqrt{10} equivale a (b+c)^2=90, o que ocorre se usar 2bc=-10 ou bc=-5, ou seja, erro na conta da área.

Assuntos: sólidos de revolução, relações métricas no triângulo retângulo, volume de cones.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗