PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Na expansão de [1 + x^2 - x^3 + x^4]^{10}, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é

  1. A
    114.
  2. B
    228.
  3. C
    342.
  4. D
    456.
  5. E
    570.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para somar os coeficientes dos termos cujo expoente é múltiplo de 3, usamos o filtro de raízes cúbicas da unidade. Seja P(x)=(1+x^2-x^3+x^4)^{10} e \omega=e^{2\pi i/3}, com \omega^3=1 e 1+\omega+\omega^2=0.\n\nSe P(x)=\sum a_k x^k, então P(1)+P(\omega)+P(\omega^2)=\sum a_k(1+\omega^k+\omega^{2k}). Essa soma vale 3 quando k é múltiplo de 3 e 0 caso contrário. Logo:\n\n

\sum_{3\mid k}a_k=\frac{P(1)+P(\omega)+P(\omega^2)}{3}
\n\nCalculando:\n\n1. P(1)=(1+1-1+1)^{10}=2^{10}=1024.\n2. P(\omega): como \omega^3=1, \omega^4=\omega, então 1+\omega^2-1+\omega=\omega+\omega^2=-1. Assim P(\omega)=(-1)^{10}=1.\n3. P(\omega^2): \omega^4=\omega e \omega^6=1, então 1+\omega^4-\omega^6+\omega^8=1+\omega-1+\omega^2=-1. Assim P(\omega^2)=1.\n\nPortanto:\n\n
\frac{1024+1+1}{3}=\frac{1026}{3}=342
\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o filtro; não resulta de (1024+2)/3.
  • BErro de conta ao combinar P(1), P(ω) e P(ω²); não corresponde a (1024+2)/3.
  • DValor sem justificativa; o resultado correto da soma dividida por 3 é 342.
  • EValor sem justificativa; supera o resultado de (1024+1+1)/3.

Assuntos: raízes da unidade, binômio e polinômios, números complexos.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗