PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Um conjunto de moedas é lançado sucessivas vezes. Em cada lançamento, todas as moedas que resultam em coroa, e apenas estas, são retiradas. As demais moedas permanecem para o próximo lançamento. O jogo termina quando todas as moedas tiverem sido retiradas. A probabilidade de o jogo durar mais do que três rodadas, se for iniciado com quatro moedas, é

  1. A
    1341/4096.
  2. B
    1695/4096.
  3. C
    2049/4096.
  4. D
    2401/4096.
  5. E
    2755/4096.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Cada moeda é independente: ela sai no primeiro lançamento em que dá coroa. O número de lançamentos até uma moeda sair segue uma distribuição geométrica com p = 1/2.

O jogo dura mais do que três rodadas se pelo menos uma moeda ainda estiver no jogo depois de 3 rodadas. É mais simples calcular o complementar: o jogo termina em até 3 rodadas, ou seja, todas as moedas saem nas 3 primeiras rodadas.

  1. Probabilidade de uma moeda sair em até 3 lançamentos: ela só não sai se der cara nos três, com probabilidade (1/2)^3 = 1/8. Logo, sai com probabilidade 1 - 1/8 = 7/8.

  2. As 4 moedas são independentes, então a probabilidade de todas saírem em até 3 rodadas é:

\left(\frac{7}{8}\right)^4 = \frac{2401}{4096}
  1. A probabilidade pedida é o complementar:
1 - \frac{2401}{4096} = \frac{4096 - 2401}{4096} = \frac{1695}{4096}

O valor 2401/4096 é a probabilidade de o jogo durar no máximo 3 rodadas, e não mais do que 3.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: (7/8)^4 = 2401/4096 é a probabilidade de o jogo acabar em até 3 rodadas, e quem esquece de tomar o complementar marca D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; não resulta do complementar de (7/8)^4.
  • CCorresponde a pouco mais da metade, sem relação com o cálculo correto das moedas independentes.
  • DÉ a probabilidade de o jogo acabar em até 3 rodadas, o evento complementar ao pedido.
  • EValor sem justificativa; não vem de 1-(7/8)^4.

Assuntos: probabilidade, eventos independentes, distribuição geométrica.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗