PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Considere a hipérbole H de equação x^2 - \frac{y^2}{4} = 1. Seja T um triângulo de vértices P, F_1, F_2, onde F_1 e F_2 são os focos de H e P um ponto em H. Sabendo que o perímetro de T é 5\sqrt{5}, o produto da medida dos lados de T é

  1. A
    \frac{41\sqrt{5}}{2}.
  2. B
    \frac{41}{4}.
  3. C
    \frac{41\sqrt{5}}{4}.
  4. D
    \frac{41}{8}.
  5. E
    \frac{41\sqrt{5}}{8}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Na hipérbole x^2 - \frac{y^2}{4}=1 temos a^2=1 e b^2=4, logo a=1 e c^2=a^2+b^2=5, ou seja, c=\sqrt5. Os focos são F_1=(-\sqrt5,0) e F_2=(\sqrt5,0), e a distância entre eles é m(\overline{F_1F_2})=2c=2\sqrt5.\n\nPara qualquer ponto P da hipérbole vale a definição: |PF_1-PF_2|=2a=2.\n\nO perímetro é PF_1+PF_2+2\sqrt5=5\sqrt5, então:\n\n

PF_1+PF_2=3\sqrt5
\n\nSejam u=PF_1 e v=PF_2, com u+v=3\sqrt5 e |u-v|=2. Tomando u>v:\n\n1. u=\frac{3\sqrt5+2}{2}\n2. v=\frac{3\sqrt5-2}{2}\n\nProduto de u e v (diferença de quadrados):\n\n
uv=\frac{(3\sqrt5)^2-2^2}{4}=\frac{45-4}{4}=\frac{41}{4}
\n\nMultiplicando pelo terceiro lado:\n\n
uv\cdot 2\sqrt5=\frac{41}{4}\cdot 2\sqrt5=\frac{41\sqrt5}{2}
\n\nO triângulo existe, pois P fora do eixo x satisfaz a desigualdade triangular (u-v=2<2\sqrt5).\n\nAlternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem para no produto PF_1\cdot PF_2=\frac{41}{4} e esquece o terceiro lado, F_1F_2=2\sqrt5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BÉ apenas o produto PF_1\cdot PF_2, esquecendo o lado F_1F_2=2\sqrt5.
  • CUsa F_1F_2=\sqrt5 (confunde c com 2c) ao multiplicar.
  • DResultado sem o fator \sqrt5 e dividido incorretamente; não corresponde ao produto dos três lados.
  • EErra a distância focal e o denominador, obtendo \frac{41\sqrt5}{8}.

Assuntos: hipérbole, focos e definição da hipérbole.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗