PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Dado z = 5 - 5i \boldsymbol{\in} \mathbb{C}, definimos f(n) = |z^{(2n+1)} + \bar{z}^{(2n+1)}| para cada n \in \mathbb{N}. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é

  1. A
    250(50^{21} - 1)/49.
  2. B
    500\sqrt{2}(50^{20} - 1)/49.
  3. C
    1000(50^{21} - 1)/49.
  4. D
    500(50^{20} - 1)/49.
  5. E
    nenhuma das alternativas anteriores.
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Resolução comentada

Para qualquer complexo, z^k + \bar{z}^k = 2\,\text{Re}(z^k). Então vamos calcular a parte real de z^{2n+1} usando a forma polar.

  1. Módulo: |z| = \sqrt{25+25} = 5\sqrt{2}.
  2. Argumento: z = 5-5i está no 4º quadrante, com \theta = -\pi/4. Logo z = 5\sqrt{2}\,(\cos(-\pi/4) + i\,\sen(-\pi/4)).
  3. Pela fórmula de De Moivre: z^{k} = (5\sqrt{2})^k\left(\cos\left(-\tfrac{k\pi}{4}\right) + i\,\sen\left(-\tfrac{k\pi}{4}\right)\right).
  4. Com k = 2n+1: f(n) = 2\,(5\sqrt{2})^{2n+1}\left|\cos\left(\tfrac{(2n+1)\pi}{4}\right)\right|.
  5. Como 2n+1 é ímpar, (2n+1)\pi/4 é um múltiplo ímpar de \pi/4, e o cosseno vale \pm\frac{\sqrt{2}}{2}. Em módulo, é \frac{\sqrt2}{2}.
  6. Então f(n) = 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\,(5\sqrt2)^{2n+1} = \sqrt2\,(5\sqrt2)^{2n+1}.
  7. Como (5\sqrt2)^{2n+1} = 50^n\cdot 5\sqrt2, temos f(n) = \sqrt2\cdot5\sqrt2\cdot 50^n = 10\cdot 50^n.

A soma é uma PG de razão 50, primeiro termo 10\cdot 50:

\sum_{n=1}^{20} 10\cdot 50^n = 10\cdot 50\cdot\frac{50^{20}-1}{49} = \frac{500\,(50^{20}-1)}{49}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa expoente 21 e coeficiente 250, resultado de erro na soma da PG e no valor de f(n).
  • BMantém um fator \sqrt{2} que na verdade se cancela, pois \sqrt2\cdot5\sqrt2=10.
  • CExpoente 21 e coeficiente 1000 não correspondem à PG de 20 termos começando em 10\cdot50.
  • EExiste alternativa correta, a D.

Assuntos: números complexos, forma polar e De Moivre, progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗