PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Seja ABC um triângulo retângulo tal que B\hat{A}C = 30^\circ. Considere D um ponto na hipotenusa \overline{AC} e retas r e s passando por D, paralelas aos lados \overline{AB} e \overline{BC}, respectivamente. Se E = r \cap \overline{BC}, F = s \cap \overline{AB} e m(\overline{BC}) = 1, o menor valor possível para m(\overline{EF}) é

  1. A
    \frac{\sqrt{2}}{5}.
  2. B
    \frac{\sqrt{2}}{2}.
  3. C
    \frac{\sqrt{3}}{3}.
  4. D
    \frac{\sqrt{3}}{2}.
  5. E
    \sqrt{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como B\hat{A}C = 30^\circ e a hipotenusa é \overline{AC}, o ângulo reto está em B. Com m(\overline{BC})=1, temos \tg 30^\circ = \frac{BC}{AB}, logo AB=\sqrt{3}.

Coloque B na origem, A=(\sqrt{3},0) e C=(0,1) (assim AB fica no eixo x e BC no eixo y).

A reta AC tem equação \frac{x}{\sqrt{3}}+y=1.

Seja D=(x,y) em AC. A reta r passa por D paralela a AB (horizontal) e encontra BC (eixo y) em E=(0,y). A reta s passa por D paralela a BC (vertical) e encontra AB (eixo x) em F=(x,0).

Assim, BEDF é um retângulo e EF é uma de suas diagonais, igual a BD. Então:

m(\overline{EF}) = m(\overline{BD}) = \sqrt{x^2+y^2}

O menor valor ocorre quando D é o pé da altura de B sobre AC, pois é a menor distância de B à reta AC.

Calculando a altura h pela área do triângulo:

  1. AC=\sqrt{3+1}=2
  2. AC\cdot h = AB\cdot BC \Rightarrow 2h=\sqrt{3}\cdot 1
  3. h=\frac{\sqrt{3}}{2}

O mínimo de m(\overline{EF}) é \frac{\sqrt{3}}{2}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a altura relativa à hipotenusa; não resulta de nenhum cálculo coerente com o triângulo 30-60-90.
  • BSeria o resultado de tratar o triângulo como isósceles, ignorando o ângulo de 30°.
  • CÉ \frac{AB}{3} ou \frac{1}{\sqrt3}, valor que não corresponde à distância de B a AC.
  • EÉ o comprimento de AB, não o mínimo de EF.

Assuntos: geometria plana, triângulo retângulo, distância de ponto a reta.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗