PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Sejam f e g funções reais definidas da seguinte forma: f(x) = 3^{2x} e g(x) = 3^x - 2^x. Considere as afirmações:

I. g(x) \ge 0, para todo x \in \mathbb{R}.

II. f(x) \ge g(x), para todo x \in \mathbb{R}.

III. f(x) + g(x) \ge 0, para todo x \in \mathbb{R}.

É (são) sempre verdadeira(s):

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    todas.
  5. E
    nenhuma.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação, lembrando que f(x)=3^{2x}=9^x>0 para todo x.

I. g(x)=3^x-2^x\ge 0 equivale a 3^x\ge 2^x, ou seja, \left(\frac{3}{2}\right)^x\ge 1. Isso só vale para x\ge 0. Para x=-1: g(-1)=\frac13-\frac12=-\frac16<0. Falsa.

II. Precisamos de 9^x\ge 3^x-2^x. Seja t=3^x>0. Então 9^x=t^2 e 2^x>0, logo 3^x-2^x<3^x=t. Basta comparar t^2 com t:

  • se t\ge 1 (isto é, x\ge0), t^2\ge t>g(x);
  • se t<1 (x<0), t^2<t, e a comparação precisa de cuidado. Teste x=-1: f(-1)=\frac19\approx 0{,}111 e g(-1)=-\frac16<0, então vale. Para x<0, em geral, 3^x<2^x (pois (3/2)^x<1), logo g(x)<0<f(x). Para x\ge0, f(x)\ge 3^x>g(x). Portanto II é verdadeira.

III. f(x)+g(x)=9^x+3^x-2^x. Para x\ge0, g(x)\ge0 e f>0, soma positiva. Para x<0, como 2^x<1 e a soma mostra 9^x+3^x muito pequena para x muito negativo, vamos testar x=-1: \frac19+\frac13-\frac12=\frac{2+6-9}{18}=-\frac1{18}<0. Falsa.

Só a II é sempre verdadeira.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem vê f>0 e supõe que a soma com g seja sempre positiva; em x=-1 ela é negativa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AI é falsa: para x<0, 3^x<2^x e g(x)<0 (ex.: g(-1)=-1/6).
  • CIII falha em x=-1, onde f+g=-1/18<0.
  • DI e III são falsas, como mostram os contraexemplos com x=-1.
  • EII é sempre verdadeira, pois f>0>g para x<0 e f\ge 3^x>g para x\ge0.

Assuntos: função exponencial, desigualdades exponenciais.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗