PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 40 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

A média harmônica de n números reais positivos a_1, a_2, ..., a_n é

H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}}.

Sabendo que o polinômio p(x) = 30x^3 - 113x^2 + 108x - 30 possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de p(x) é

  1. A
    \frac{2}{3}.
  2. B
    \frac{5}{18}.
  3. C
    \frac{5}{6}.
  4. D
    1.
  5. E
    3.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A média harmônica pede a soma dos inversos das raízes, \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}. Não precisamos achar as raízes: basta usar as relações de Girard.

Para p(x)=ax^3+bx^2+cx+d com raízes r_1, r_2, r_3:

  • soma: r_1+r_2+r_3=-\frac{b}{a}
  • soma dos produtos dois a dois: r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=\frac{c}{a}
  • produto: r_1r_2r_3=-\frac{d}{a}

Com a=30, b=-113, c=108, d=-30:

  1. Soma dos produtos dois a dois: \frac{108}{30}=\frac{18}{5}.
  2. Produto das raízes: -\frac{-30}{30}=1.

Somando as frações dos inversos com denominador comum:

\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}=\frac{r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3}{r_1r_2r_3}=\frac{18/5}{1}=\frac{18}{5}.

A média harmônica é então:

H=\frac{3}{18/5}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum cálculo correto com as relações de Girard.
  • BUsa \frac{18}{5} no denominador errado, ou seja, calcula \frac{1}{3}\cdot\frac{5}{6} ou algo similar, em vez de 3\div\frac{18}{5}.
  • DSeria o produto das raízes, não a média harmônica.
  • EConfunde com o número de raízes n=3, esquecendo de dividir pela soma dos inversos.

Assuntos: relações de Girard, média harmônica, polinômios.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗