PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 39 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Considere as afirmações:

I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular.

II. Seja P um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de P é 240^\circ.

III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de razão r = 1^\circ.

É (são) sempre verdadeira(s):

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    nenhuma.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

I. Falsa. Um polígono regular exige lados iguais e ângulos iguais. Um losango que não é quadrado tem 4 lados iguais, é convexo e não é regular.

II. Falsa. A soma dos ângulos internos de um hexágono é (6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ. Em uma PA de 6 termos, a soma do menor (a_1) com o maior (a_6) vale um terço da soma total, pois S = \frac{6(a_1+a_6)}{2} = 3(a_1+a_6). Então:

a_1 + a_6 = \frac{720^\circ}{3} = 240^\circ

A conta fecha, mas a afirmação só valeria se o polígono existisse nessas condições, e ela vale para qualquer hexágono convexo com ângulos em PA. Portanto II é verdadeira.

III. Verifique a soma: (100-2)\cdot 180^\circ = 17640^\circ. Com razão 1^\circ:

\frac{100(2a_1 + 99\cdot 1^\circ)}{2} = 17640^\circ \Rightarrow 2a_1 + 99^\circ = 352{,}8^\circ \Rightarrow a_1 = 126{,}9^\circ

O maior ângulo é a_{100} = 126{,}9^\circ + 99^\circ = 225{,}9^\circ, que é maior que 180^\circ. Isso contraria a convexidade, pois todo ângulo interno de um polígono convexo é menor que 180^\circ. Logo III é falsa.

Resta apenas a II como sempre verdadeira.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ALados iguais não bastam: o losango não quadrado é convexo, equilátero e não regular.
  • CA PA de razão 1^\circ daria um ângulo de 225{,}9^\circ, o que viola a convexidade.
  • DInclui a III, que é falsa, pelo mesmo motivo do ângulo maior que 180^\circ.
  • EIgnora que a II é verdadeira, pois a_1+a_6 = 720^\circ/3 = 240^\circ.

Assuntos: polígonos convexos, progressão aritmética, soma dos ângulos internos.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗