PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 38 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Sejam z \in \mathbb{C} e f(z) = z^2 + i. Para cada n \in \mathbb{N}, definimos f^{(1)}(z) = f(z) e f^{(n)}(z) = f(f^{(n-1)}(z)). Então, f^{(2023)}(0) é

  1. A
    1 - i.
  2. B
    i - 1.
  3. C
    -1 - i.
  4. D
    i.
  5. E
    -i.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Calcule as primeiras iteradas a partir de z=0 e procure um padrão.

  1. f^{(1)}(0) = 0^2 + i = i.
  2. f^{(2)}(0) = f(i) = i^2 + i = -1 + i.
  3. f^{(3)}(0) = f(-1+i) = (-1+i)^2 + i. Como (-1+i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i, temos -2i + i = -i.
  4. f^{(4)}(0) = f(-i) = (-i)^2 + i = -1 + i.

O valor -1+i já tinha aparecido em f^{(2)}(0). Como cada termo depende só do anterior, a sequência passa a se repetir a partir do segundo termo, com período 2:

i,\ -1+i,\ -i,\ -1+i,\ -i,\ -1+i,\ \dots

Para n \geq 2: se n é par, f^{(n)}(0) = -1+i; se n é ímpar, f^{(n)}(0) = -i.

Como 2023 é ímpar (e maior que 1), f^{(2023)}(0) = -i.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem supõe que a sequência é periódica desde o início e, sendo 2023 ímpar, escolhe f^{(1)}(0)=i; na verdade o ciclo só começa em n=2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A1-i não aparece na sequência; é o oposto de -1+i, que vale para os índices pares.
  • Bi-1 é o valor dos índices pares, mas 2023 é ímpar.
  • C-1-i não aparece na sequência das iteradas.
  • Di só ocorre em n=1; a sequência não volta a ele.

Assuntos: números complexos, funções iteradas, sequências periódicas.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗