PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 37 do ITA 2023

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\det A : denota o determinante da matriz A.

Considere A \in M_3(\mathbb{R}) tal que existe um único número real x que satisfaz a equação \det(\sqrt[3]{2}x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2. Então, x + \det A é

  1. A
    ( ) -5.
  2. B
    ( ) -4.
  3. C
    ( ) -3.
  4. D
    ( ) -2.
  5. E
    ( ) -1.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Para matriz 3\times 3, \det(kA)=k^3\det A. Seja d=\det A.

  1. Primeiro termo: \det(\sqrt[3]{2}\,x^2A)=(\sqrt[3]{2}\,x^2)^3 d = 2x^6 d.
  2. Segundo termo: \det(xA^3)=x^3\det(A^3)=x^3 d^3.
  3. Lado direito: \det(A^2)=d^2.

A equação fica:

2dx^6 + d^3x^3 - d^2 = 0.

Se d=0, a equação vira 0=0 e todo x real serve, o que contradiz a unicidade. Logo d\neq 0 e podemos dividir por d:

2x^6 + d^2x^3 - d = 0.

Se x é raiz, a equação em x deve ter solução única. Note que x=0 só é raiz se d=0, então x\neq0.

Faça y=x^3 (bijeção em \mathbb{R}): 2y^2 + d^2y - d = 0. Precisamos de exatamente uma raiz real y, ou seja, discriminante nulo:

\Delta = d^4 + 8d = 0 \Rightarrow d(d^3+8)=0.

Como d\neq0, d^3=-8, então d=-2.

A raiz dupla é y=-\dfrac{d^2}{4}=-\dfrac{4}{4}=-1, logo x^3=-1 e x=-1.

Portanto x+\det A=-1+(-2)=-3.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D (e a E) engana quem acha só det A ou só x e esquece de somar os dois; também é preciso descartar det A = 0, que daria infinitas soluções.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma valores incorretos de x e det A, sem impor discriminante nulo corretamente.
  • BErra a raiz dupla ou o valor de x (por exemplo, usando x = -2 com d = -2).
  • DConsidera apenas det A = -2 e esquece de somar x = -1.
  • EConsidera apenas x = -1 e esquece de somar det A = -2.

Assuntos: determinantes, equação do segundo grau, discriminante.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 37 no caderno 1ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗