Questão 6 do ITA 2022

Question

Um fluido de densidade \rho, incompressível e homogêneo, move-se por um tubo horizontal com duas secções transversais de áreas A_1 e A_2 = kA_1, em que k é uma constante real positiva menor que 1. Um elemento de volume de fluido entra no tubo com velocidade v_1 na região onde a secção transversal de área é A_1 e sai através da outra extremidade. O estreitamento do tubo acontece em um curto intervalo de comprimento, muito menor do que o seu comprimento total. Assinale a alternativa que contém a diferença de pressão do fluido entre os pontos de entrada e saída do tubo.

A
0
B
\dfrac{\rho v_1^2}{2}
C
\dfrac{\rho v_1^2}{2} \left(\dfrac{1 - k^2}{k^2}\right)
D
\dfrac{\rho v_1^2}{2} \left(\dfrac{1 - k}{k}\right)
E
\dfrac{\rho v_1^2}{2} \left(\dfrac{1 - k^2}{k}\right)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do ITA 2022

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Se necessitar, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. 1\ \text{UA} = d_{Terra-Sol} = 150 milhões de quilômetros.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Um fluido de densidade \rho, incompressível e homogêneo, move-se por um tubo horizontal com duas secções transversais de áreas A_1 e A_2 = kA_1, em que k é uma constante real positiva menor que 1. Um elemento de volume de fluido entra no tubo com velocidade v_1 na região onde a secção transversal de área é A_1 e sai através da outra extremidade. O estreitamento do tubo acontece em um curto intervalo de comprimento, muito menor do que o seu comprimento total. Assinale a alternativa que contém a diferença de pressão do fluido entre os pontos de entrada e saída do tubo.

A
0
B
\dfrac{\rho v_1^2}{2}
C
\dfrac{\rho v_1^2}{2} \left(\dfrac{1 - k^2}{k^2}\right)
D
\dfrac{\rho v_1^2}{2} \left(\dfrac{1 - k}{k}\right)
E
\dfrac{\rho v_1^2}{2} \left(\dfrac{1 - k^2}{k}\right)

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Use dois princípios para fluido ideal em tubo horizontal: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.

Continuidade (fluido incompressível): a vazão se conserva, então A_1 v_1 = A_2 v_2. Com A_2 = kA_1:

v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1 = \frac{v_1}{k}

Como k<1, a velocidade aumenta no trecho estreito.

Bernoulli (tubo horizontal, sem diferença de altura):

P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = P_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}

Isolando a diferença de pressão:

P_1 - P_2 = \frac{\rho}{2}\left(v_2^2 - v_1^2\right) = \frac{\rho}{2}\left(\frac{v_1^2}{k^2} - v_1^2\right)

Colocando v_1^2 em evidência:

P_1 - P_2 = \frac{\rho v_1^2}{2}\left(\frac{1-k^2}{k^2}\right)

O resultado é positivo, o que faz sentido: a pressão é maior na região larga, onde o fluido é mais lento.

O fato de o estreitamento ocorrer em um trecho curto serve para podermos desprezar perdas por viscosidade ao longo do tubo.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Asupõe pressão igual nos dois pontos, ignorando que a velocidade muda e, por Bernoulli, a pressão também.
Busa só a energia cinética de entrada, sem considerar a velocidade de saída v_1/k.
Dusa v_2 = v_1/k sem elevar ao quadrado na energia cinética, ficando com k no lugar de k^2.
Emistura 1-k^2 no numerador com k no denominador; o denominador correto é k^2.

Assuntos: equação de Bernoulli, equação da continuidade, hidrodinâmica.

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Questão 6 no caderno 1ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗