PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ITA 2022

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Se necessitar, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. 1\ \text{UA} = d_{Terra-Sol} = 150 milhões de quilômetros.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Em seu experimento para medir a constante gravitacional G, Henry Cavendish utilizou uma balança de torção composta por uma haste leve e longa, de comprimento L, com duas massas m em suas extremidades, suspensa por um fio fixado ao seu centro. Dois objetos de massa M foram aproximados às extremidades da haste, conforme mostra a figura abaixo, de tal forma que a haste sofreu um pequeno ângulo de deflexão \Delta\phi a partir da posição inicial de repouso, e foi medida a distância b entre os centros das massas m e M mais próximos. Quando torcido de um ângulo \phi, o fio gera um torque restaurador \tau = -\kappa\phi. Determine a expressão aproximada de G, em termos dos parâmetros do sistema.

Esquema da balança de torção: uma haste de comprimento L tem duas massas m nas extremidades e está inclinada para a direita em relação à posição inicial vertical tracejada, formando um ângulo Δφ. Círculos claros sobre a linha tracejada indicam as posições iniciais das massas. Uma massa M está à direita da extremidade superior e outra à esquerda da extremidade inferior. A distância horizontal entre os centros de cada par de massas m e M mais próximas é indicada por b.

  1. A
    \dfrac{b^2 k\Delta\phi}{4LMm}
  2. B
    \dfrac{b^2 k\Delta\phi}{2LMm}
  3. C
    \dfrac{b^2 k\Delta\phi}{LMm}
  4. D
    \dfrac{2b^2 k\Delta\phi}{LMm}
  5. E
    \dfrac{4b^2 k\Delta\phi}{LMm}
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Resolução comentada

Na posição de equilíbrio, o torque gravitacional que as massas M fazem sobre a haste é equilibrado pelo torque restaurador do fio, \kappa\,\Delta\phi.

  1. Força entre cada par próximo (m e M), separados por b (a figura mostra a distância horizontal entre os centros):

    F = \frac{G M m}{b^2}

  2. Como \Delta\phi é pequeno, essa força é praticamente perpendicular à haste. Cada força atua a uma distância L/2 do eixo (o fio, no centro da haste).

  3. As duas forças produzem torques no mesmo sentido (uma empurra a extremidade de cima e a outra, a de baixo, em sentidos opostos, girando a haste igualmente). O torque total é:

    \tau_{grav} = 2\cdot F\cdot\frac{L}{2} = F L = \frac{G M m L}{b^2}

  4. No equilíbrio:

    \frac{G M m L}{b^2} = \kappa\,\Delta\phi

  5. Isolando G:

    G = \frac{b^2\,\kappa\,\Delta\phi}{L M m}

As atrações cruzadas (a massa M com a massa m mais distante) são desprezadas, daí a expressão ser aproximada.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Adivide por 4 sem motivo, como se o braço fosse L/2 e houvesse só uma força, ou ainda com fator extra errado.
  • Bconsidera só uma das forças (torque F L/2), esquecendo que as duas massas contribuem.
  • Dusa braço L em vez de L/2 para cada força, dobrando o torque.
  • Edobra o torque duas vezes, usando braço L e duas forças.

Assuntos: gravitação, torque, balança de torção.

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Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno 1ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗