PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do ITA 2022

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Se necessitar, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. 1\ \text{UA} = d_{Terra-Sol} = 150 milhões de quilômetros.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

No laboratório de mecânica, carrinhos de massas M e 2M são unidos por uma mola elástica ideal e oscilam livremente em um plano liso com período T. A seguir, o sistema é comprimido contra uma parede por uma força F atuando sobre a massa M, conforme ilustra a figura abaixo. Nessa situação, a mola é sujeita a uma compressão l com respeito ao seu comprimento natural. Em um determinado instante, a massa M é liberada e o sistema entra em movimento. Assinale a alternativa que contém a máxima velocidade atingida pelo centro de massa no movimento subsequente.

Dois carrinhos de massas 2M e M sobre uma superfície horizontal lisa, conectados por uma mola. O carrinho de massa 2M está encostado em uma parede vertical à esquerda, e o carrinho de massa M recebe uma força horizontal F apontando para a esquerda.

  1. A
    0
  2. B
    \dfrac{2\pi l}{T}
  3. C
    \dfrac{2\pi l}{3T}
  4. D
    \sqrt{\dfrac{8}{3}} \times \dfrac{\pi l}{T}
  5. E
    \sqrt{\dfrac{8}{27}} \times \dfrac{\pi l}{T}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, o período livre. Duas massas M e 2M ligadas por uma mola oscilam como uma só partícula de massa reduzida \mu = \dfrac{M\cdot 2M}{3M}=\dfrac{2M}{3}, então T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2M}{3k}}, e daí \dfrac{k}{M}=\dfrac{8\pi^2}{3T^2}.

Depois, a liberação. Enquanto M é empurrada, a parede segura 2M. Ao soltar, a mola se distende e 2M continua encostada na parede (a mola a empurra contra ela) até a mola chegar ao comprimento natural. Nesse intervalo só M se move, em MHS com constante k e amplitude l.

Quando a mola atinge o comprimento natural, M tem a velocidade máxima desse trecho:

\frac{1}{2}kl^2=\frac{1}{2}Mv^2 \Rightarrow v=l\sqrt{\frac{k}{M}}=l\sqrt{\frac{8\pi^2}{3T^2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}\,\frac{\pi l}{T}

Nesse instante 2M ainda está parada, então a velocidade do centro de massa é

v_{CM}=\frac{M v+2M\cdot 0}{3M}=\frac{v}{3}

A partir daí a mola passa a esticar, puxando 2M para longe da parede. Não há força externa horizontal, logo o momento total e v_{CM} ficam constantes. Assim, a velocidade máxima do centro de massa é

v_{CM}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}\frac{\pi l}{T}=\sqrt{\frac{8}{27}}\,\frac{\pi l}{T}

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: é a velocidade máxima de M, não a do centro de massa, que exige dividir por 3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a parede exerce força externa durante a distensão, dando impulso ao sistema.
  • BUsa a amplitude l e o período T como se fosse um MHS simples de uma massa só.
  • CUsa \omega=2\pi/T para M e divide por 3, esquecendo que k/M depende da massa reduzida.
  • DÉ a velocidade de M ao sair da parede, sem dividir por 3 para obter a do centro de massa.

Assuntos: centro de massa, oscilações, conservação de energia.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗