PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

O número de soluções reais e distintas da equação

\cos^2(2x) = 3 - \cos^6(x) - 5\cos^2(x)

no intervalo [0, 2\pi[ é

  1. A
    2.
  2. B
    3.
  3. C
    4.
  4. D
    5.
  5. E
    6.
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Resolução comentada

Chame t=\cos^2 x, que só pode valer entre 0 e 1. Como \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2t-1 e \cos^6 x = t^3, a equação fica:

(2t-1)^2 = 3 - t^3 - 5t
  1. Desenvolvendo: 4t^2 - 4t + 1 = 3 - t^3 - 5t.
  2. Passando tudo para um lado: t^3 + 4t^2 + t - 2 = 0.
  3. Testando t=-1: -1+4-1-2=0, então t=-1 é raiz.
  4. Dividindo por (t+1): (t+1)(t^2+3t-2)=0.
  5. As raízes de t^2+3t-2=0 são t=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{2}, ou seja, t\approx 0{,}56 ou t\approx -3{,}56.

Como t=\cos^2x \ge 0, descartamos t=-1 e t\approx-3{,}56. Resta t=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\approx 0{,}56, que está entre 0 e 1.

Então \cos^2 x \approx 0{,}56, ou seja, \cos x \approx \pm 0{,}75, valores entre -1 e 1.

Em [0,2\pi[, cada valor de cosseno com módulo menor que 1 aparece em 2 ângulos: 2 para \cos x\approx 0{,}75 (1º e 4º quadrantes) e 2 para \cos x\approx-0{,}75 (2º e 3º quadrantes). Total: 4 soluções.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só os dois ângulos de um dos sinais de \cos x, esquecendo que \cos x=\pm valor.
  • BNão corresponde a nenhuma contagem correta; cada valor de cosseno com módulo menor que 1 dá 2 ângulos, e há dois valores.
  • DConta como se alguma raiz extra de t (como t=-1) desse solução, mas \cos^2x não pode ser negativo.
  • EAdmite raízes de t fora de [0,1] ou conta soluções a mais, sem descartar t<0.

Assuntos: equação trigonométrica, substituição de variável, equação polinomial de grau 3.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗