PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 53 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Sejam \alpha, \beta e \theta ângulos internos de um triângulo. Se \cos(\beta + \theta) \le \cos(\alpha + 2\beta), podemos afirmar que:

  1. A
    O triângulo não é isóceles.
  2. B
    O triângulo não é retângulo.
  3. C
    O triângulo não é actuângulo.
  4. D
    O triângulo não é obtusângulo.
  5. E
    Não se pode garantir nenhum dos itens anteriores.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como \alpha+\beta+\theta=\pi, temos \beta+\theta=\pi-\alpha, e então \cos(\beta+\theta)=-\cos\alpha.

Por outro lado, \alpha+2\beta=\pi-\theta+\beta, ou seja, \cos(\alpha+2\beta)=-\cos(\beta-\theta).

Substituindo na desigualdade:

  1. -\cos\alpha \le -\cos(\beta-\theta), isto é, \cos\alpha \ge \cos(\beta-\theta).
  2. Como \alpha=\pi-(\beta+\theta), vale \cos\alpha=-\cos(\beta+\theta).
  3. Logo -\cos(\beta+\theta)\ge\cos(\beta-\theta), ou seja, \cos(\beta-\theta)+\cos(\beta+\theta)\le 0.
  4. Pela soma de cossenos, \cos(\beta-\theta)+\cos(\beta+\theta)=2\cos\beta\cos\theta.

Portanto \cos\beta\cos\theta\le 0.

Em um triângulo, os ângulos \beta e \theta estão em (0,\pi). O produto dos cossenos é \le 0 quando um deles é \ge 90^\circ (cosseno \le 0) e o outro é agudo, ou quando um deles é reto (produto nulo). Os dois não podem ser obtusos ao mesmo tempo, pois a soma passaria de 180^\circ.

Assim, \beta ou \theta é maior ou igual a 90^\circ. O triângulo tem um ângulo reto ou obtuso, e portanto não é acutângulo ("actuângulo", como está escrito na alternativa).

Verificando as demais: ele pode ser isósceles (ângulos 90^\circ,45^\circ,45^\circ), pode ser retângulo e pode ser obtusângulo.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO triângulo retângulo isósceles (90^\circ,45^\circ,45^\circ) satisfaz a condição, logo ele pode ser isósceles.
  • BCom \beta=90^\circ o produto \cos\beta\cos\theta é zero e a desigualdade vale, então o triângulo pode ser retângulo.
  • DUm ângulo obtuso em \beta ou \theta dá cosseno negativo e satisfaz a condição, logo ele pode ser obtusângulo.
  • EA condição garante que o triângulo não é acutângulo, então a alternativa C pode ser afirmada.

Assuntos: trigonometria no triângulo, soma de cossenos, classificação de triângulos.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗