PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja T um triângulo de vértices A, B e C com m(\overline{AB}) = 2\sqrt{5} e m(\overline{BC}) = 6. Sabendo que A\hat{B}C é agudo e T é inscritível em uma circunferência de raio R = 5, podemos afirmar que:

  1. A
    m(\overline{AC}) = \sqrt{5}/5.
  2. B
    m(\overline{AC}) = 2\sqrt{5}/5.
  3. C
    m(\overline{AC}) = 4\sqrt{5}/5.
  4. D
    m(\overline{AC}) = 8\sqrt{5}/5.
  5. E
    m(\overline{AC}) = 14\sqrt{5}/5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Pela lei dos senos, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto vale 2R=10.

  1. Lado BC=6 é oposto a A: \sen A = \dfrac{6}{10}=\dfrac35.
  2. Lado AB=2\sqrt5 é oposto a C: \sen C = \dfrac{2\sqrt5}{10}=\dfrac{\sqrt5}{5}, então \cos C=\dfrac{2\sqrt5}{5} (C é agudo; se fosse obtuso, C\approx153^\circ e A\approx37^\circ somariam mais de 180^\circ).
  3. A pode ser agudo (\cos A=\tfrac45) ou obtuso (\cos A=-\tfrac45). Para B, usamos \sen B=\sen(A+C).

Caso A agudo: \cos B=-\cos(A+C)=-(\cos A\cos C-\sen A\sen C)=-\left(\dfrac{8\sqrt5}{25}-\dfrac{3\sqrt5}{25}\right)<0. Então B seria obtuso, o que contraria o enunciado.

Caso A obtuso (\cos A=-\tfrac45):

\sen B=\sen A\cos C+\cos A\sen C=\frac35\cdot\frac{2\sqrt5}{5}-\frac45\cdot\frac{\sqrt5}{5}=\frac{2\sqrt5}{25}

Aqui B é agudo, como pedido.

O lado AC é oposto a B:

AC=10\sen B=10\cdot\frac{2\sqrt5}{25}=\frac{4\sqrt5}{5}

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem toma A agudo e esquece que a condição de B agudo obriga A a ser obtuso.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; não sai de 10\sen B com B agudo.
  • BVem de \sen B=\tfrac{2\sqrt5}{5}, do caso com A agudo, que deixa B obtuso.
  • DDobra o valor correto; erro de conta no seno de B.
  • ENão corresponde a nenhum caso válido do triângulo.

Assuntos: lei dos senos, triângulo inscrito, trigonometria.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗