PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja A o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo C. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de A, a probabilidade dessas retas se interceptarem em um vértice de C é:

  1. A
    4/9.
  2. B
    1/2.
  3. C
    2/3.
  4. D
    1/14.
  5. E
    3/7.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Um cubo tem 8 vértices, e cada par de vértices determina uma reta. Duas retas distintas de A só podem coincidir se contiverem os mesmos pontos, mas nenhum trio de vértices do cubo é colinear. Logo, |A| = \binom{8}{2} = 28 retas.

O total de pares de retas distintas é:

\binom{28}{2} = \frac{28\cdot 27}{2} = 378

Para que duas retas se interceptem em um vértice, elas devem compartilhar esse vértice. Cada reta é definida por dois vértices, então as duas retas do par compartilham exatamente um vértice, e os outros extremos são diferentes.

  1. Em cada vértice V passam 7 retas, uma para cada um dos outros 7 vértices.
  2. Pares de retas que passam por V: \binom{7}{2} = 21.
  3. Com 8 vértices: 8\cdot 21 = 168 pares.

Não há contagem dupla. Duas retas distintas têm no máximo um ponto em comum, então cada par é contado uma só vez. Além disso, as retas não passam por um terceiro vértice sem que ele seja um dos extremos, já que não há três vértices colineares.

Probabilidade:

\frac{168}{378} = \frac{4}{9}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde à contagem 168/378; não há razão para o resultado ser metade.
  • CValor sem base na contagem; provavelmente erra o número de pares favoráveis ou o total.
  • DConfunde com 1/14, que não vem de 168 sobre 378.
  • EValor que não resulta de 168/378; ignora a contagem correta de pares por vértice.

Assuntos: análise combinatória, probabilidade, geometria espacial.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗