PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 51 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Dizemos que a representação binária de um número N \text{ \text{∈} } \mathbb{N} da forma

N = g \cdot 2^0 + f \cdot 2^1 + e \cdot 2^2 + d \cdot 2^3 + c \cdot 2^4 + b \cdot 2^5 + a \cdot 2^6

é (abcdefg)_2, onde a, b, c, d, e, f, g \in \{0, 1\} e omitem-se os algarismos 0 até o primeiro algarismo 1 da esquerda para a direita. Seja k um número inteiro tal que 1 \le k \le 100. Qual a probabilidade de k e k + 1 terem representações binárias com um número distinto de algarismos?

  1. A
    2\%.
  2. B
    4\%.
  3. C
    6\%.
  4. D
    8\%.
  5. E
    10\%.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

O número de algarismos binários de N muda de um número para o seguinte apenas quando o seguinte é uma potência de 2. Por exemplo, 7=(111)_2 tem 3 algarismos e 8=(1000)_2 tem 4.

Logo, k e k+1 têm quantidades distintas de algarismos exatamente quando k+1 é potência de 2.

Como 1\le k\le 100, temos 2\le k+1\le 101. As potências de 2 nesse intervalo são:

  1. 2^1=2
  2. 2^2=4
  3. 2^3=8
  4. 2^4=16
  5. 2^5=32
  6. 2^6=64

A potência 2^7=128 passa de 101, e 2^0=1 fica abaixo de 2. São, portanto, 6 valores de k: 1, 3, 7, 15, 31 e 63.

O total de valores possíveis de k é 100. Então:

P=\frac{6}{100}=6\%

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta apenas 2 potências de 2, ignorando a maioria dos casos.
  • BConta só 4 mudanças de quantidade de algarismos, parando antes de 32 e 64.
  • DInclui 2^7=128 ou outro valor fora do intervalo, chegando a 8 casos.
  • EEstima 10 casos, sem contar corretamente as potências de 2 até 101.

Assuntos: sistema binário, probabilidade, potências de 2.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 51 no caderno 1ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗