PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere as seguintes afirmações:

I. Se \alpha e \beta são planos paralelos distintos e r é uma reta tal que r \cap \alpha \neq \emptyset então r \cap \beta \neq \emptyset.

II. Se r é uma reta e P e Q são pontos distintos, então existem infinitos planos equidistantes de P e Q que contêm r.

III. Dado quatro pontos no espaço, existe um único ponto equidistante a eles.

É (são) verdadeira(s):

  1. A
    Nenhuma das afirmações.
  2. B
    apenas I .
  3. C
    apenas II.
  4. D
    apenas III.
  5. E
    I, II e III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. Falsa. Se r intercepta \alpha, ela pode estar contida em \alpha (ou ser paralela ao plano). Se r \subset \alpha, como \alpha e \beta são paralelos e distintos, r nunca toca \beta. Logo r \cap \beta = \emptyset é possível.

II. Falsa. Um plano equidistante de P e Q ou contém o ponto médio M de \overline{PQ}, ou é paralelo à reta PQ. Para conter r, há poucas possibilidades:

  • o plano que contém r e M (um só, se M\notin r);
  • o plano que contém r e é paralelo a PQ (um só, se r não for paralela a PQ).

São no máximo 2 planos, não infinitos. Se r passa por M e não é paralela a PQ, há 2 planos? Não: os planos que contêm r formam um feixe, e basta que contenham M (todos contêm, pois M\in r) para serem equidistantes, mas então só os planos que contêm r e M valem, e isso dá infinitos. Esse é um caso particular. Em geral, a afirmação ("existem infinitos", para qualquer r) é falsa: com r qualquer, por exemplo uma reta reversa a PQ que não passa por M, há apenas 2 planos.

III. Falsa. Se os quatro pontos são coplanares e não estão numa mesma circunferência, não existe ponto equidistante. Se estão numa mesma reta, também não há. E se fossem coplanares e concíclicos, haveria infinitos pontos (a reta perpendicular ao plano pelo centro). Logo nem sempre existe um único.

Nenhuma das afirmações é verdadeira.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bignora que a reta pode estar contida em \alpha, e então nunca encontra \beta.
  • Csó vale em casos particulares (reta passando pelo ponto médio); em geral há no máximo 2 planos.
  • Dquatro pontos coplanares podem não ter nenhum ponto equidistante, ou ter infinitos.
  • Eas três afirmações são falsas.

Assuntos: geometria espacial de posição, planos e retas no espaço.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗