PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja P uma pirâmide regular cujo vértice V é um dos vértices de um cubo de lado l e cuja base é o hexágono formado pelos pontos médios das seis arestas do cubo que não contém V nem o vértice oposto a V. O raio da esfera que circunscreve P é

  1. A
    l\sqrt{2}/12.
  2. B
    l\sqrt{3}/12.
  3. C
    5l\sqrt{2}/12.
  4. D
    5l\sqrt{3}/12.
  5. E
    l\sqrt{3}/6.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Coloque o cubo com vértices em (0,0,0) e (l,l,l), com V=(0,0,0) e o vértice oposto W=(l,l,l).\n\nAs seis arestas que não contêm V nem W têm pontos médios como (l/2,l,0), (l,l/2,0), (l,0,l/2) e semelhantes. Todos têm coordenadas que são permutações de (0,\, l/2,\, l), e a soma delas é 3l/2. Logo, a base está no plano x+y+z=3l/2, perpendicular à diagonal VW.\n\nO centro H da base é o centro do cubo, (l/2,l/2,l/2). A altura da pirâmide é a distância VH:\n\n

h=\frac{l\sqrt{3}}{2}
\n\nO raio do hexágono (circunraio da base) é a distância de H a um ponto médio, por exemplo (l/2,l,0):\n\n
r=\sqrt{0+\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}=\frac{l\sqrt{2}}{2}
\n\nO centro O da esfera está no eixo VH, a uma distância t de H (na direção de V). Impondo OV=OA, com A um vértice da base:\n\n
R=h-t \quad \text{e} \quad R^2=r^2+t^2
\n\nIsso dá (h-t)^2=r^2+t^2, ou seja, h^2-2ht=r^2, e portanto\n\n
t=\frac{h^2-r^2}{2h}
\n\nCom h^2=\frac{3l^2}{4} e r^2=\frac{l^2}{2}, temos h^2-r^2=\frac{l^2}{4}. Então\n\n
t=\frac{l^2/4}{l\sqrt{3}}=\frac{l}{4\sqrt{3}}=\frac{l\sqrt{3}}{12}
\n\nPortanto\n\n
R=h-t=\frac{l\sqrt{3}}{2}-\frac{l\sqrt{3}}{12}=\frac{5l\sqrt{3}}{12}
\n\nAlternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana: l\sqrt{3}/12 é a distância t do centro da esfera ao centro da base, um resultado intermediário, e não o raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor pequeno demais, sem relação com a conta de R=h-t; ignora a altura da pirâmide.
  • BÉ apenas a distância t do centro da esfera ao centro da base, não o raio.
  • CUsa fator \sqrt{2}, que vem do raio da base, e não da altura l\sqrt{3}/2.
  • El\sqrt{3}/6 não resulta de R=h-t; subestima o raio.

Assuntos: pirâmide, esfera circunscrita, geometria espacial.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗