PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja b \in \mathbb{R} tal que a equação

x^2 - 6bx - (1 - b^2)(y^2 - 2by) + b^4 + 8b^2 - 1 = 0

determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:

  1. A
    C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x^2/9 + y^2/12 < 1\}.
  2. B
    C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x^2/4 + y^2/2 > 1\}.
  3. C
    C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x^2/9 - y^2/2 < 1\}.
  4. D
    C \in \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ 3x^2 - 2y^2 > 1\}.
  5. E
    Nenhuma das alternativas anteriores.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Para achar o centro, completamos os quadrados em x e em y.

  1. Em x: x^2-6bx=(x-3b)^2-9b^2.
  2. Em y: y^2-2by=(y-b)^2-b^2.

Substituindo na equação:

(x-3b)^2-9b^2-(1-b^2)(y-b)^2+(1-b^2)b^2+b^4+8b^2-1=0

As constantes ficam -9b^2+b^2-b^4+b^4+8b^2-1=-1. Logo:

(x-3b)^2-(1-b^2)(y-b)^2=1

O centro é C=(3b,\,b).

Para ser hipérbole, os coeficientes de x^2 e y^2 devem ter sinais opostos. Como o de x^2 é 1>0, precisamos de 1-b^2>0, ou seja, -1<b<1 e 0\le b^2<1.

Testando o centro (3b,b) em cada alternativa:

  • (A): \frac{9b^2}{9}+\frac{b^2}{12}=\frac{13b^2}{12}<1 falha para b próximo de 1.
  • (B): \frac{9b^2}{4}+\frac{b^2}{2}=\frac{11b^2}{4}>1 falha para b=0.
  • (C): \frac{9b^2}{9}-\frac{b^2}{2}=\frac{b^2}{2}<\frac12<1, o que vale sempre.
  • (D): 27b^2-2b^2=25b^2>1 falha para b=0.

Portanto, só a (C) vale para todo b admissível.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO valor 13b^2/12 pode passar de 1 quando b está perto de 1, então a condição não vale sempre.
  • BPara b=0 o centro é a origem e 11b^2/4=0, que não é maior que 1.
  • DPara b=0 o centro é a origem e 25b^2=0, que não é maior que 1.
  • EExiste alternativa correta, a (C).

Assuntos: hipérbole, completar quadrados, cônicas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 48 no caderno 1ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗