PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Sejam x, r \in \mathbb{R} e suponha que

-\pi/2 < x - r \le x + r < \pi/2.

Sobre

\tan(x - r), \tan(x) \text{ e } \tan(x + r),

nesta ordem, podemos afirmar que:

  1. A
    Nunca determina uma progressão aritmética.
  2. B
    Pode determinar uma progressão aritmética apenas se r = 0.
  3. C
    Pode determinar uma progressão aritmética apenas se r = 0 ou se r = \sqrt{3}/3.
  4. D
    Pode determinar uma progressão aritmética para infinitos valores distintos de r.
  5. E
    Determina uma progressão aritmética para todo x e r como no enunciado.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para três números formarem uma PA, o termo do meio é a média dos extremos: 2\tg x = \tg(x-r) + \tg(x+r).

Usamos a soma de tangentes: \tg(x-r)+\tg(x+r) = \dfrac{\sen(2x)}{\cos(x-r)\cos(x+r)}.

Como \cos(x-r)\cos(x+r) = \dfrac{\cos 2x + \cos 2r}{2}, a condição fica:

2\,\dfrac{\sen x}{\cos x} = \dfrac{2\sen x\cos x\cdot 2}{\cos 2x+\cos 2r}

ou seja, \dfrac{2\sen x}{\cos x} = \dfrac{4\sen x\cos x}{\cos 2x+\cos 2r}.

Existem dois casos:

  1. \sen x = 0, isto é, x=0 (no intervalo possível). Então \tg(-r)+\tg(r)=0=2\tg 0, valendo para todo r com |r|<\pi/2. Isso já dá infinitos valores de r.

  2. \sen x \neq 0: \cos 2x + \cos 2r = 2\cos^2 x = 1+\cos 2x, logo \cos 2r = 1, então r=0 (no intervalo permitido).

Assim, com x=0, qualquer r\in[0,\pi/2) gera a PA, por exemplo -\tg r,\ 0,\ \tg r, de razão \tg r. Há, portanto, infinitos valores de r possíveis.

As alternativas A, B e C ficam falsas, e E é falsa porque, para x\neq0, só r=0 funciona.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem divide por \sen x e esquece o caso x=0, que dá infinitos valores de r.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExiste PA, por exemplo com r=0 (termos iguais) ou com x=0 e qualquer r.
  • BIgnora o caso x=0, em que -\tg r, 0, \tg r é PA para qualquer r.
  • CO valor \sqrt3/3 não tem papel especial; com x=0 qualquer r serve.
  • EPara x\neq 0 e r\neq 0 a condição falha, pois exige \cos 2r=1.

Assuntos: trigonometria, progressão aritmética, tangente.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗