PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja n \ge 2 e A, B \in M_n(\mathbb{R}). Considere as seguintes afirmações:

I. Se AB \neq BA então ou A ou B não é inversível.

II. Se AB = 0 então BA = 0.

III. Se A^T = -A^2 e A é inversível então \det(A) = -1.

É (são) verdadeira(s):

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e III.
  5. E
    Nenhuma das afirmações.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. Ser inversível não obriga a comutar. Tome A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}, ambas com determinante 1, portanto inversíveis. Então AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} e BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}, logo AB\neq BA, mas nenhuma das duas é não inversível. A afirmação I é falsa.

II. Tome A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}. Então AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\neq 0. Invertendo: A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} dão AB=0, mas BA=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\neq 0. A afirmação II é falsa.

III. Use \det(A^T)=\det(A) e \det(-A^2)=(-1)^n(\det A)^2. De A^T=-A^2:

\det A=(-1)^n(\det A)^2.

Como A é inversível, \det A\neq0, e dividindo: \det A=(-1)^n.

  • Se n é par, \det A=1, não -1.

Existe exemplo com n=2? Precisamos de A^T=-A^2 com \det A=1. Mas mesmo sem exemplo, a afirmação diz "então \det A=-1" para todo n\ge2; para n par, o resultado obrigatório seria 1, e a afirmação só poderia valer se não existisse tal A. Existe: para n=2, a rotação de 120^\circ tem A^T=A^{-1}=A^2, e -A^2 não serve; já a rotação de 60^\circ cumpre A^3=-I, logo A^2=-A^{-1}=-A^T, ou seja, A^T=-A^2, com \det A=1\neq-1. A afirmação III é falsa.

Nenhuma é verdadeira.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AI é falsa: duas matrizes inversíveis podem não comutar, como os exemplos com determinante 1.
  • BII é falsa: AB = 0 não implica BA = 0, como mostra o contraexemplo com matrizes nilpotentes.
  • CIII é falsa: det A = (-1)^n, que vale 1 para n par; a rotação de 60° é contraexemplo.
  • DTanto I quanto III são falsas, pelos contraexemplos apresentados.

Assuntos: matrizes, determinantes, matriz inversível.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗