PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 do ITA 2022

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere o polinômio p(z) = z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13 e note que p(i) = 0. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de p(z). Podemos afirmar a área desse quadrilátero é

  1. A
    4.
  2. B
    6.
  3. C
    8.
  4. D
    9.
  5. E
    10.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como p tem coeficientes reais e p(i)=0, o conjugado -i também é raiz. Logo p(z) é divisível por (z-i)(z+i)=z^2+1.

Dividindo: z^4-6z^3+14z^2-6z+13=(z^2+1)(z^2-6z+13).

Conferindo: (z^2+1)(z^2-6z+13)=z^4-6z^3+13z^2+z^2-6z+13=z^4-6z^3+14z^2-6z+13. ✓

As raízes de z^2-6z+13=0 são z=\dfrac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=3\pm 2i.

Vértices no plano: (0,1), (0,-1), (3,2), (3,-2).

Os pares conjugados formam dois segmentos verticais paralelos, então o quadrilátero é um trapézio:

  1. Base menor: de (0,-1) a (0,1), medindo 2.
  2. Base maior: de (3,-2) a (3,2), medindo 4.
  3. Altura: distância entre as retas x=0 e x=3, que vale 3.
A=\frac{(2+4)\cdot 3}{2}=9

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o trapézio de bases 2 e 4 e altura 3; ignora parte dos vértices.
  • BCalcula (2+4)\cdot 3 sem dividir por 2 e ainda erra, ou usa só um triângulo; não dá 6 para o trapézio.
  • CUsa altura ou bases erradas (por exemplo, altura 4 com bases 2 e 2).
  • EErra a soma das bases ou da altura; o trapézio correto tem área 9.

Assuntos: polinômios, raízes complexas, área de trapézio.

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Fonte: ITA 2022 · 1ª fase. Prova oficial ↗